Т ы г л и я н
ABC-СХЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматриваются новые одношаговые линейно неявные методы
интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. <...> В отличие от методов типа Розенброка в формулы
ABC-схем входит не только матрица Якоби системы дифференциальных уравнений, но и ее квадрат. <...> E-mail: filippov@keldysh.ru, m.tygliyan@gmail.com
Ключевые слова: жесткие системы ОДУ, одношаговые неявные методы, линеаризация ОДУ, метод типа Розенброка, ABC-метод
ABC-схемы являются численными методами, предназначенными
для решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений
y 0 (x) = f (y(x)),
y(x0 ) = y0
Одностадийные ABC-схемы задаются формулой
I + Ahfy + Bh2 fy2 (y1 (h) − y0 ) = (I + Chfy ) hf. <...> (2)
Здесь y1 (h) — искомое численное решение на одном шаге интегрирования длины h, а A, B и C — коэффициенты, определяющие метод
(и его название), y и f — n-мерные вектор-функции, fy — матрица Якоби системы дифференциальных уравнений (1), I — единичная матрица; отметим, что f , fy , . . . (без аргументов) всюду означают
f (y0 ), fy (y0 ), . <...> . ..
Для одностадийных ABC-схем (2) справедливы следующие утверждения [1], легко доказываемые стандартными способами [2, 3]. <...> Методы второго порядка A-устойчивы тогда и только
тогда, когда
1
A 1
A6− , B>− − . <...> Кроме того, для линейных систем (1) с постоянными коэффициентами получены следующие результаты. <...> Для того чтобы ABC-схемы (2) аппроксимировали линейную автономную систему с порядком 3, необходимо и достаточно,
чтобы B = −A/2 − 1/6, A 6 −1/2. <...> Для возведения в квадрат заполненной матрицы fy
требуется n3 мультипликативных операций, и еще n3 /3 операций для
LU-разложения матрицы в левой части уравнения (2). <...> Но если эту
последнюю матрицу разложить на линейные множители, то возводить fy в квадрат не надо, и число затрачиваемых на линейную алгебру действий сократится вдвое. <...> Количество действий уменьшится
еще примерно в два раза, если ограничиться однопараметрическим
семейством ABC-схем, у которых <...>