Т. В. Жаркова, А. В. Казанцев
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГАХОВА
ДЛЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССОВ ЯНОВСКОГО
Аннотация. <...> Найдена макси-
Гахова
мальная (по включению) область единственности для семейства S *[α, β] ,
(α, β) ∈ Δ . <...> Множество Δ′ является
максимальной областью единственности для семейства классов S *[α, β] ,
(α, β) ∈ Δ . <...> Таким образом, дано полное и окончательное решение проблемы,
поставленной и частично решенной А. В. Казанцевым в 1998 г. Получена двупараметрическая серия условий единственности; установлено новое свойство
известных классов однолистных функций. <...> Метод доказательства основан на
применении леммы Шварца, вычислении неулучшаемой постоянной в оценке
левой части уравнения Гахова и анализе зависимости указанной постоянной от
параметров. <...> Kazantsev
ON THE UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF GAHOV
EQUATION FOR THE FUNCTIONS IN THE JANOWSKI CLASSES
Abstract. <...> Thus, the article adduces the
full and complete solution for the problem posed and particularly solved in 1998 by
108
University proceedings. <...> The proving method is based on the use of the
Schwarz lemma, the calculation of the sharp constant in the estimate of the left-hand
side of Gahov equation, and the analysis of the dependence of the constant mentioned on the parameters. <...> (1)
для голоморфной и локально однолистной (т.е. f ′ ≠ 0 ) в круге
D = {ζ ∈ :| ζ | < 1} функции f является условием разрешимости ряда граничных задач теории аналитических функций и математической физики (см.,
напр., [1, § 33; 2, гл. <...> Как известно [7], величина (2) совпадает с внутренним конформным радиусом образа f ( D) в точке f (ζ ) , где ζ ∈ D . <...> Совпадение решений (1) с критическими точками функции (2) – максимумами, седлами и полуседлами [8] – используется при поиске условий единственности корня уравнения Гахова. <...> В работах [9–11] такие условия строились по некоторым подклассам однолистных функций в форме ограничений
на числовые параметры, определяющие подкласс, и в ряде случаев доведены
до неулучшаемых. <...> (3)
из которой, в частности, следует убывание функции (2 <...>