И. В. Бойков, А. И. Бойкова
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГОМОТОПИИ К РЕШЕНИЮ
ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
Аннотация. <...> Дано применение метода гомотопии к приближенному решению
обратных задач логарифмического и ньютоновского потенциала. <...> Рассматриваются обратные задачи логарифмического и ньютоновского потенциала в линейной и нелинейной постановках. <...> Предложенные алгоритмы могут применяться для решения широкого класса обратных задач, описываемых интегральными уравнениями. <...> Обратные задачи могут описываться
различным математическим аппаратом, но общим во всех этих задачах следующее: как правило, они являются некорректно поставленными и для своего
решения требуют использования методов регуляризации. <...> Различные методы регуляризации предложены в работах [1–5]. <...> В данной работе исследуются методы решения обратных задач, описываемых интегральными уравнениями Фредгольма. <...> Это обусловлено тем, что обратными задачами логарифмического и
ньютоновского потенциалов моделируются обратные задачи гравиразведки и
магниторазведки. <...> Методом решения обратных задач и, в частности, обратных задач гравиразведки и магниторазведки посвящена обширная литература [6–10]. <...> Метод регуляризации, предложенный в данной работе, опирается на
следующее свойство полиномов Бернштейна. <...> Если f ( x) есть целая функция, то ее
полином Бернштейна BN ( x) сходится к ней на всей оси. <...> В данной работе метод регуляризации заключается в том, что вместо
решения исходного уравнения Фредгольма первого рода Kx = f решается
последовательность уравнений второго рода (λ + β) x(λ) + Kx(λ ) = f , где λ
принимает значения λ k = k/N , k = 0,1, , N , N − целое число, β = 1/N . <...> В случае, если решение уравнения (λ + β) x(λ) + Kx(λ ) = f является
целой функцией по параметру λ или аналитической функцией по параметру
λ в области Ω ([0,1] ⊂ Ω ) , то применимость описанного алгоритма следует
из теоремы Канторовича о сходимости полиномов Бернштейна [11]. <...> Метод гомотопии для решения интегральных уравнений <...>