М. Ю. Медведик, И. А. Родионова
НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
НЕЙМАНА НА ДИСКЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Аннотация. <...> Поставленная задача сведена к интегральному уравнению и описана теория разрешимости данного уравнения. <...> Получены некоторые аналитические решения рассматриваемой задачи на диске. <...> The
problem is reduced to integral equation. <...> The article presents several numerical results of the integral equation solution on a disk. <...> мкнутым подпространством H s R 2 с индуцированным скалярным произведением и нормой. <...> Будем искать функцию u H loc
S , что означает
ограниченность энергии в любом конечном объеме пространства, удовлетво-
31
Известия высших учебных заведений. <...> (1)
с краевыми условиями на нормальную производную (задача Неймана)
u
h на S ,
n <...> Для обеспечения единственности решения задачи необходимо, чтобы
функция u удовлетворяла условию на бесконечности (условию Зоммерфельда): <...> Если решение краевой задачи Неймана (1) и (2),
существует, то оно единственно. <...> Сведение задачи к интегральному уравнению
Основное преимущество применения метода граничных интегральных
уравнений к исследованию задач дифракции для уравнения Гельмгольца заключается в том, что подобный подход позволяет свести задачу, поставленную в неограниченной области, к задаче в ограниченной области меньшей
размерности, т.е. для границы рассеивателя. <...> (4)
где есть изменение значения функции при прохождении через границу
области S . <...> Уравнение (4) возникает при представлении решения задачи Неймана <...> Такое
представление решения задачи Неймана приводит к автоматическому выпол-
32
№ 1 (17), 2011
Физико-математические науки. <...> Требуя выполнения краевых условий
для задачи Неймана, опустим точку x на экран S и сразу получим интегральное уравнение (4). <...> Интегральный оператор DS может рассматриваться как в классической
теории, так и в теории псевдодифференциальных операторов. <...> Разрешимость
уравнения (4) основывается на сильной эллиптичности оператора DS , которой он обладает в соответствующих пространствах <...>