Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ1
Аннотация. <...> В статье рассматриваются функции Грина 1-го и 2-го рода для
уравнения Гельмгольца в слое. <...> Доказывается возможность аналитического
продолжения через положительную часть действительной оси в нижнюю полуплоскость на основе принципа симметрии Римана-Шварца. <...> Доказана справедливость известного представления функции Грина в верхней полуплоскости для нижней полуплоскости. <...> Ключевые слова: уравнение Гельмгольца для слоя, аналитическое продолжение функции Грина. <...> Введение
В ряде задач математической физики важно иметь аналитическое продолжение функций Грина для уравнения Гельмгольца в слое в нижнюю полуплоскость [1]. <...> В статье [3] получены представления для функций Грина в первом квадранте
комплексной плоскости и исследованы их свойства. <...> Целью настоящей работы является доказательство возможности аналитического продолжения функций Грина в нижнюю полуплоскость и получения
явной формулы для этого продолжения. <...> Функция Грина G1 G1 x, y , x, y U определяется как решение
краевой задачи ( y U фиксировано):
1
Работа выполнена при поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП «Развитие потенциала высшей школы» № 2.1.1/1647. <...> (5)
1
Соотношения (3) и (4) являются условиями Зоммерфельда для двумерной ограниченной области. <...> Коэффициенты Фурье (5) являются решениями
двумерного уравнения Гельмгольца с параметром kn2 в области 0 для
g1,n
некоторого 0 . <...> (12)
1
Соотношения (10) и (11) являются условиями Зоммерфельда для двумерной ограниченной области. <...> Коэффициенты Фурье (12) являются решениями двумерного уравнения Гельмгольца с параметром kn2 в области 0
g 2,n
для некоторого 0 . <...> Для функции Грина G2 x, y 2-го рода верны следующие представления [3]: <...> Здесь H 0 z – функция Ханкеля нулевого порядка первого
рода и ij – символ Кронекера. <...> Отметим, что функция Грина 2-го рода не определена при k 0 . <...> 2 Сходимость представлений <...>