Д. В. Валовик
О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ДЛЯ ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН1
Статья посвящена доказательству существования решений нелинейной
краевой задачи на собственные значения для ТМ-поляризованных электромагнитных волн, распространяющихся в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра. <...> Введение
Изучение задач распространения электромагнитных волн в нелинейных
средах актуально в связи с тем, что эти явления находят широкое применение
в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной
технике. <...> Кроме того, они представляют и самостоятельный математический
интерес, поскольку такие задачи являются нелинейными краевыми задачами
на собственные значения, общих методов решения которых в настоящее время не разработано, поэтому всякий прогресс в аналитическом исследовании
подобных задач представляет несомненную важность. <...> 1 Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный,
изотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . <...> Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 соответственно, где
ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. <...> Считаем, что всюду μ = μ0 ,
где μ0 – магнитная проницаемость вакуума. <...> Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается законом
2
Керра ε = ε 2 + a E , где a и ε 2 > max ( ε1 , ε3 ) – положительные константы. <...> Математика
Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве. <...> Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла <...> (1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на
границе раздела сред x = 0 , x = h и условию излучения на бесконечности:
электромагнитное поле экспоненциально затухает <...>