П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа М.Л. Мячин, О. А. Дунаева цифровой обработки сигналов Вейвлетные преобразования Дополнительные главы для студентов, обучающихся по направлению и специальности Прикладная математика и информатика Научно-методическим советом университета Рекомендовано Ярославль 2010 УДК 621.391.1.037.37 ББК З 811.3я73М 99 в Редакционно-издательским советом университета Рекомендовано качестве учебного издания. <...> П.Г. Демидова кафедра дискретного анализа Рецензент М 99 Мячин, М.Л. Дополнительные главы цифровой обработки сигналов. <...> 9. ального спектрального анализа сигналов, начиная с эмпирических схем скользящего преобразования Фурье и заканчивая разложениями по вейвлетным базисам. <...> Здесь x(t) исходный сигнал, X(f) комплексный интегральный спектр Фурье исходного сигнала. <...> Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) определяется следующими формулами: Xn = 1 N xk = N−1 n=0 N−1 n=0 ный дискретный спектр Фурье исходного сигнала. <...> Окно Ханна, называемое иногда также окном фон Ганна, определяется формулой gN(k) = 1 2 1−cos 2πk N , где N длина временного ряда. <...> Если последовательность yk образована по правилу yk = gN(k)xk, то Yn = 1 4(−Xn−1 +2Xn −Xn+1), где Xn и Yn дискретные спектры последовательностей xk и yk соответственно. <...> Таким образом, умножению сигнала во временн соответствует сглаживание спектра. ой области на окно Ханна в частотной области нала осредняется по времени. <...> Локальный спектральный анализ При использовании преобразования Фурье информация о спектральном составе сигЗдесь xk исходный дискретный сигнал, определенный для 0 k < N, Xn комплексXn exp[i(2π/N)kn]. xk exp[−i(2π/N)kn], В этом случае хотелось бы иметь возможность выяснить спектральный состав в каждый момент времени, т. е. локальный спектральный состав сигнала. <...> Здесь мы обсудим локальный спектральный анализ скользящим окном, интегральные вейвлетные преобразования и дискретные вейвлетные разложения. <...> Вейвлетное преобразование оказалось хорошо <...>
Дополнительные_главы_цифровой_обработки_сигналов._Вейвлетные_преобразования_методические_указания.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра дискретного анализа
Ì.Ë. Ìÿ÷èí, Î. À. Дунаева
цифровой обработки сигналов
Вейвлетные преобразования
Дополнительные главы
для студентов, обучающихся по направлению и специальности
Прикладная математика и информатика
Научно-методическим советом университета
Рекомендовано
Ярославль 2010
Стр.1
УДК 621.391.1.037.37
ББК З 811.3ÿ73Ì 99
в Редакционно-издательским советом университета
Рекомендовано
качестве учебного èçäàíèÿ. План 2010/2011 учебного ãîäà.
Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова
кафедра дискретного анализа
Рецензент
М 99 Мячин, М.Л. Дополнительные главы цифровой обработки сигналов.
Вейвлетные преобразования: методические указания / М.Л. Мячин, О. А. Дунаева;
ßðîñë. ãîñ. óí-ò èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà. Ярославль : ßðÃÓ, 2010. 34 ñ.
к В методических указаниях последовательно изложена современная теория локладная
математика и информатика и специальности 010501.65 Прикладная математика
и информатика (дисциплина ¾Цифровая обработка сигналов¿, блок ОПД),
очной формы обучения.
Ðèñ. 9.
ального спектрального анализа сигналов, начиная с эмпирических схем скользящего
преобразования Фурье и заканчивая разложениями по вейвлетным базисам.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010500.62 ПриУДК
621.391.1.037.37
ББК З 811.3ÿ73
Ярославский государственный университет
èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà, 2010
c
Стр.2
Оглавление
1. Определения и обозначения
2. Локальный спектральный анализ
2.1. Спектральный анализ скользящим окном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Скользящее БПФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Интегральное вейвлетное преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4. Вейвлетное преобразование в спектральной области . . . . . . . . . . . . . 7
2.5. Вычисление вейвлетного спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6. Обратное вейвлетное преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7. Интерпретация вейвлетного спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8. Масштаб и частота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9. DOG-âåéâëåòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3
3
3. Дискретные вейвлеты
3.1. Вейвлетный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Масштабное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Уравнение удвоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4. Вейвлетное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5. Алгоритм разложения по вейвлетному базису . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6. Схема субполосной фильтрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7. Вейвлетные пакеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15
33
Стр.33