А. В. Абанин
УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
И УЛЬТРАРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Москва «Наука»
2007
УДК 517.98
А?? <...> Изложение
сосредоточено на развитии классического подхода Берлинга, определяющая роль
в котором отводится скорости убывания преобразований Фурье пробных функций на бесконечности. <...> Спектр получаемых на этом пути пространств шире, чем в
известных на сегодняшний день теориях Румье–Коматсу, Берлинга–Бьорка и Брауна–Майзе–Тейлора. <...> распределения вводятся как линейные непрерывные функционалы на пространстве D всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. <...> На основании известного критерия неквазианалитичности класса бесконечно дифференцируемых функций эту область анализа часто называют теорией Данжуа–Карлемана. <...> Берлинга, основанный на том простом наблюдении, что изначально D можно определить
как пространство тех функций с компактными носителями, преобразования Фурье которых убывают на бесконечности быстрее любой
отрицательной степени (1 + |x|)−n = exp (−n ln(1 + |x|)). <...> Берлинг
предложил брать вместо ln(1+|x|) произвольную непрерывную cубаддитивную функцию ω(x), подчиненную естественным ограничениям,
при которых получаемое после такой замены веса пространство было непрерывно вложено в D и нетривиально. <...> С определенной точки зрения теория Берлинга–Бьорка оказалась
у
´же, чем у Румье–Коматсу. <...> В связи с этим в конце прошлого века были предприняты попытки модифицировать подход Берлинга так, чтобы получить шкалу пространств (функций и распределений), эквивалентную шкале Румье–Коматсу. <...> Берлинга, в котором преобразование Фурье выступает стержнем всех методов и результатов, позволяет построить шкалу
пространств, содержащую перечисленные выше, и одновременно сохраняет основополагающие результаты и принципы классической теории распределений. <...> При этом структурные теоремы, которые, как известно, играют значительную роль во многих
вопросах, даются здесь в новой форме, отличной от традиционной <...>
Ультрадифференцируемые_функции_и_ультрараспределения.pdf
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
Институт прикладной математики и информатики
А. В. Абанин
УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
И УЛЬТРАРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Москва «Наука»
2007
Стр.1
УДК 517.98
А??
Ответственный редактор:
доктор физико-математических наук В.П. Кондаков,
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Ю.Ф. Коробейник,
доктор физико-математических наук И.Х. Мусин
Абанин А.В.
Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения /
А.В. Абанин; [отв. ред. В.П. Кондаков] ; Ин-т приклад. математики
и информатики Владикавк. НЦ.– М.: Наука, 2007. – 222 с.–ISBN
Книга является введением в теорию ультрадифференцируемых функций и
ультрараспределений, сформировавшуюся в последние двадцать лет. Изложение
сосредоточено на развитии классического подхода Берлинга, определяющая роль
в котором отводится скорости убывания преобразований Фурье пробных функций
на бесконечности. Спектр получаемых на этом пути пространств шире, чем в
известных на сегодняшний день теориях Румье–Коматсу, Берлинга–Бьорка и Брауна–Майзе–Тейлора.
Установлены аналоги основополагающих результатов теории
распределений, часть из которых проанализирована с новой точки зрения.
Для специалистов, аспирантов и студентов старших курсов университетов, занимающихся
теорией функциональных пространств, функциональным анализом
и приложениями теории распределений.
ISBN
Российская академия наук, 2007
c
c
Редакционно-издательское оформление.
Издательство «Наука»
Институт прикладной математики
и информатики ВНЦ РАН, 2007
Абанин А. В., 2007
c
c
Стр.2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Банаховы пространства пробных функций . . . 9
1.1. Базовые обозначения, определения и свойства . . . . . . 9
1.2. Элементарные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Весовые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Продолжение весов в CN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Изоморфное пространство целых функций . . . . . . . . 37
1.6. Нетривиальность и смежные вопросы . . . . . . . . . . . 39
1.7. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Глава 2. Пробные Ω-ультрадифференцируемые
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Пространства специального вида . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4. Теорема Пэли–Винера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Глава 3. Ω-ультрараспределения . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1. Начальные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3. Структурные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4. Операции над ультрараспределениями . . . . . . . . . . 90
3.5. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Глава 4. Ω-ультрадифференцируемые функции . . . . . . 94
4.1. Определения и простейшие свойства . . . . . . . . . . . 94
4.2. Топологическая структура . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3. Пространства быстро убывающих функций . . . . . . . 103
4.4. Конкретные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5. Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Стр.3