№1 (56)
ФИЛОСОФИЯ НАУКИ
2013
Проблемы логики и методологии науки
НЕЗАВЕРШЕННОСТЬ МАТЕМАТИКИ
И АБСОЛЮТНО НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ* <...> В.В. Целищев
Статья посвящена одному из аспектов дилеммы Геделя о соотношении человека
и компьютера и существовании абсолютно неразрешимых утверждений математики. <...> Рассматривается основная посылка дилеммы, а именно, концепция незавершаемости математики как следствие теорем о неполноте. <...> Делается заключение о незавершенности аргумента
Геделя о превосходстве человека над конечной машиной в вопросе о разрешимости математических утверждений. <...> В ней Гедель предложил
интригующую дилемму, которая, с его точки зрения, следует из его же
второй теоремы о неполноте: «Либо математика незавершаема в этом
смысле, а ее очевидные аксиомы никогда не могут быть проявлением
(comprised) конечного правила, т.е. человеческий ум (даже в пределах
чистой математики) бесконечно превосходит возможности (powers) любой конечной машины, или же существуют абсолютно неразрешимые
диофантовые утверждения отмеченного типа» [2]. <...> Целищев В.В., 2013
Незавершенность математики и абсолютно неразрешимые проблемы
61
го, поскольку речь идет о природе человеческого знания вообще. <...> В частности, Гедель в связи с дилеммой различает объективную и субъективную
математику; последнюю он называет человеческой (human) математикой. <...> Нужно прежде
всего разобраться, какое место в дилемме Геделя занимают понятия эффективной процедуры, а также неразрешимые диофантовы проблемы. <...> Далее, что означает, с его точки зрения, незавершенность математики,
каким образом он приходит к различению объективной и субъективной
математики и каким же образом дилемма связана с позицией самого Геделя в отношении полемики менталистов и механицистов о природе человеческого разума. <...> Менталисты, в отличие от механицистов, предполагают превосходство человеческого разума над машиной, и само содержание дилеммы Геделя говорит о том, что такой подход к природе <...>
НЕЗАВЕРШЕННОСТЬ_МАТЕМАТИКИ_И_АБСОЛЮТНО_НЕРАЗРЕШИМЫЕ_ПРОБЛЕМЫ.pdf
№1 (56)
ФИЛОСОФИЯ НАУКИ
2013
И АБСОЛЮТНО НЕРАЗРЕШИМЫЕ ПРОБЛЕМЫ*
В.В. Целищев
Проблемы логики и методологии науки
НЕЗАВЕРШЕННОСТЬ МАТЕМАТИКИ
Статья посвящена одному из аспектов дилеммы Геделя о соотношении человека
и компьютера и существовании абсолютно неразрешимых утверждений математики. Рассматривается
основная посылка дилеммы, а именно, концепция незавершаемости математики
как следствие теорем о неполноте. Делается заключение о незавершенности аргумента
Геделя о превосходстве человека над конечной машиной в вопросе о разрешимости математических
утверждений.
Ключевые слова: Гедель, математика, компьютер, человек, дилемма
В 1951 г. К. Гедель прочел лекцию в Университете Брауна – одну из
серии лекций в честь математика Дж.У. Гиббса. Эта лекция не была
опубликована при жизни Геделя, хотя он и намеревался это сделать.
Впоследствии она вошла в третий том собрания работ Геделя, извлеченных
из его записных книжек (Nachlass) [1]. Публикация этой лекции,
которая называется ради краткости Гиббсовской лекцией Геделя, стала
важным событием в философии математики. В ней Гедель предложил
интригующую дилемму, которая, с его точки зрения, следует из его же
второй теоремы о неполноте: «Либо математика незавершаема в этом
смысле, а ее очевидные аксиомы никогда не могут быть проявлением
(comprised) конечного правила, т.е. человеческий ум (даже в пределах
чистой математики) бесконечно превосходит возможности (powers) любой
конечной машины, или же существуют абсолютно неразрешимые
диофантовые утверждения отмеченного типа» [2].
Корни этой поразительной дилеммы лежат в ряде предположений
Геделя о природе математического знания, да и не только математическо*
Исследования, нашедшие отражение в данной статье, поддержаны грантом
Российского гуманитарного научного фонда № 13-03-00073.
г Целищев В.В., 2013
Стр.1