«Îïòèêà атмосферы и îêåàíà», 21, ¹ 11 (2008)
СПЕКТРОСКОПИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
УДК 535.33.34
Расчет функций пропускания при малых давлениях
Ñ.Ä. Творогов , Î.Á. Родимова
*
Институт оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН
634021, ã. Òîìñê, ïë. Академика Çóåâà, 1
Поступила в редакцию 5.08.2008 ã.
Получены аналитические выражения для коэффициентов ряда экспонент s(g) в случае одной линии
с лорентцевским, доплеровским и фойгтовским контурами. Предложен способ оценки функции поглощения
при малых давлениях, основанный на асимптотической оценке представляющего ее интеграла, записанного
с помощью ряда экспонент для одной линии и для произвольного числа линий. На численных примерах
показано, что асимптотические оценки могут быть использованы в широкой области давлений и просты
в применении. Приведены качественные оценки области их применимости. Показано наличие на кривой
s(g) точек перегиба в точках, отвечающих максимумам линий, и отмечено их возможное влияние на точность
расчета при малых давлениях.
Ключевые слова: ряды экспонент, малые давления, асимптотические оценки пропускания.
Введение
Климатические модели предъявляют высокие
требования к расчетам распространения излучения
в атмосфере.
Line-by-line-ðàñ÷åòû поглощения атмосферными
газами с правильным контуром спектральных
линий являются подходящими по точности, однако
совершенно неприемлемы в радиационных блоках
климатических моделей, так как требуют необозримого
количества времени.
Решение проблемы точного расчета оказалось
возможным при использовании разложений радиационных
величин в ряды экспонент. Этот прием,
называемый также методом k-распределения, является
сейчас наиболее распространенным при рассмотрении
радиационных свойств атмосферы. Как
правило, способы нахождения коэффициентов таких
разложений сводятся к различным методам
минимизации, т.е. к чисто вычислительной процедуре.
Алгоритмы, использующие ряды экспонент
в больших моделях, сталкиваются с некоторыми
трудностями, когда необходимо производить расчеты
при малых давлениях в высоких слоях атмосферы.
Это связано с тем, что из-за специфического
поведения упорядоченных коэффициентов поглощения
при малых давлениях нужно учитывать
большое число членов ряда экспонент для достижения
необходимой точности.
Наиболее рельефно эта проблема очерчена
в работе Chou et al. [1]. Òàê, при вычислении
функции пропускания для водяного пара было
* Cтанислав Дмитриевич Творогов ; Ольга Борисовна
Родимова (rod@iao.ru).
показано, что вклад в скорость выхолаживания при
давлениях меньше 1 мбар происходит от очень малой
доли (< 0,005) спектра вблизи центров полос
поглощения, где коэффициенты поглощения меняются
на 4 порядка величины. Это требует по крайней
мере 100 членов в k-распределении, чтобы точно
вычислить скорость выхолаживания.
В одной из наиболее разработанных моделей
радиационного переноса [2] ИК-диапазон (10–
3000 ñì–1) делится на 16 ó÷àñòêîâ-ïîëîñ. Каждая
спектральная полоса разделена, в свою очередь, на
16 интервалов в g пространстве. Из них 7 интервалов
помещены между g = 0,98 и g = 1,0, что сделано
для того, чтобы точно определить скорость
выхолаживания в обстоятельствах, когда основной
вклад вносят центры линий в полосе, иными словами,
доля k-распределения, имеющая значения g
около 1. Очевидным образом получается, что вычислительные
усилия становятся тем больше, чем
меньше коэффициент поглощения и, соответственно,
меньше его вклад в функцию пропускания. Такое
положение вызывает ощущение нерациональности
происходящего, когда для расчета малых величин
требуется больше времени, чем для больших.
Типичный вид коэффициента поглощения показан
на рис. 1 для части спектра СО2 при больших
и малых давлениях. При малых давлениях,
очевидно, поглощение определяется узкими участками
спектра вблизи сильных линий. Это отражается
и в различии поведения s(g) (ðèñ. 2) для того
же участка спектра.
С уменьшением давления (ñì. ðèñ. 1 и 2) кривые
s(g) (оставаясь, естественно, монотонными)
резко возрастают в окрестности g = 1, как и говорилось
выше, и определяются «вершинами» наиболее
сильных в рассматриваемом интервале линий.
Расчет функций пропускания при малых давлениях
915
Стр.1
–
10–31
10–29
10–27
10–25
10–23
10–21
10–19
10
17
κ(ω), ñì2
⋅ ìîë.–1
Функция пропускания P(ω) в интервале частот
∆ω = ω″ – ω″ имеет вид
′′
P=1013,17 мбар
s
Pz zsz
−
() 1 e
P=0,001 мбар
== ( )
ν
1
zs g
0
() 1
fs = π
2
780 785
790
795
ω, ñì–1
Ðèñ. 1. Коэффициент поглощения ÑÎ2. Т = 296 Ê, лорентцевский
контур до 10 ñì–1, шаг = 0,001 ñì–1; интервал
780–800 ñì–1
102
1
2
10–2
10–4
P = 0,001 мбар
10–6
1
10–8
1,0 0,8 0,6
0,4
0,2
g
Ðèñ. 2. Функция s(g) для CO2. Т = 296 Ê, лорентцевский
контур до 10 ñì–1, шаг = 0,001 ñì–1; интервал 780–800 ñì–1
Здесь следует отметить, что в отличие от обычно
применяемой для нахождения s(g) минимизации
существуют точные формулы для коэффициентов
разложения радиационных величин в ряды экспонент
[3], выражающие их через коэффициенты поглощения,
которые позволяют значительно упростить
необходимые вычисления. Более того, развиваемый
авторами [3] подход позволяет по-новому
рассмотреть и проблемы, связанные с ситуацией
малых давлений в средней и верхней атмосфере.
В разд. 1 получены аналитические выражения
для s(g) для лорентцевского, доплеровского и фойгтовского
контуров в случае одной линии. В разд. 2
представлена асимптотическая оценка для функции
пропускания одной линии с использованием s(g),
полученных в разд. 1. В разд. 3 предлагаемый
асимптотический прием обобщен на случай наличия
в рассматриваемом интервале произвольного числа
линий.
1. Значения s(g)
для изолированной линии
Приведем общие формулы для коэффициентов
разложения радиационных величин в ряды экспонент,
выражающие их через коэффициенты поглощения
(ñì., íàïðèìåð, [3–5]).
916
s(g)
P = 1013,17 мбар
gsf s ds
0
() ()
∆ω
κω < ω∈ ω ω
() ;
,
i dzP z
+∞
ci
∫
ci
−∞
sci
== =
π
=ω=∫∫ (3)ddω
−
11
′′′
ss[]
∫∫
[]
2
κ ω> ω∈ ω ω,′ ′′
() ;
где z – оптическая òîëùà; κ(ω) – спектральный
коэффициент поглощения; f(s) – преобразование
Лапласа P(z); g(s) – преобразование Лапласа
функции P(z)/z; s(g) – ôóíêöèÿ, обратная g(s);
s(g) есть упорядоченные по величине значения κ(ω)
для [];ω∈ ∆ω bν, gν – ординаты и абсциссы соответствующей
квадратурной формулы. Построение
функции g(s) иллюстрирует ðèñ. 3.
1,
∆ω
1()Pz sz
e
ci
−∞
iz dz
+∞
( )e ;
sz
(2)
∫dgee ;
()
−− ν
ν
∑b
zs g
=ω=
ω′
∆ω∫∫
()
ω∞
−κ ω
d ds f s( ) e
0
=
(1)
Ðèñ. 3. Схема интегрирования для g(s). Для заданного s
значение g представляет собой сумму интервалов, в которых
κ(ω) < s
Соотношение (3) позволяет получить аналитические
выражения для s(g) одной линии в случае
наиболее употребительных контуров – лорентцевского,
доплеровского и фойгтовского. Рассмотрим
несколько способов получения s(g). Один из них –
использование в соотношении (3) определения g
как суммы интервалов ÷àñòîò, в которых κ(ω) < s.
Пусть имеем лорентцевский контур (рис. 4),
Q, α, ω0 – интенсивность, столкновительная полуширина
и центр спектральной ëèíèè; ∆ω = ω2 – ω1 –
спектральный интервал, в котором рассматривается
поглощение:
κω Qα= π ω− ω + α
1
()
Творогов Ñ.Ä. , Родимова Î.Á.
()
0
22.
(4)
Стр.2
и оценки затем получившегося контурного интеграла.
Однако имеется еще более простой способ записи
s(g), применимый для любого симметричного
контура.
Пусть s = ϕ(x) – четная функция безразмерной
переменной x (рис. 5). Очевидно, величина
промежутка [a, b] = 2x [x = ϕ–1(s) по определению
обратной функции].
Рис. 4. К расчету s(g) для лорентцевского контура
Для некоторого значения s коэффициента поглощения
s
Qα= π ω− ω + α
1
()
0
откуда
()0ω− ω = ± − απ
Qα
s
2
и 21.Q
s
ω− ω = α −πα
′′′
Доля интервала, в которой k > s:
2
gs
()
ω− ω α
== −
′′′
∆ω ∆ω π α
ной линии с лорентцевским контуром
2
sg Q= πα
()
1(1
2
+−g)
α
∆ω
I ω= (7)
π∆ω D
()
s Q
1 exp
−
∆ω
ω− ω0
D
имеем аналогичным образом
=−
∆ω
π∆ωD
D
g 12 ln
sg
π∆ωD
exp
∆ω ,
Q
s π∆ωD
()=− (8)
Q −∆ω
2
()2
1
g
4∆ωD
2
Выражение (6) может быть также получено
непосредственно из формулы (3) с помощью определения
g как интеграла от P(z)/z путем замены
переменных
ω− ω = α ϕ ω =
0
tg ,ddϕ
cos ϕ
α
2
.
exp ω− ω ,
0
2
=− ∆ω
D
1
2
Для доплеровской линии с полушириной ∆ω D
2
Рис. 5. К построению s(g) для произвольной четной
функции ϕ(x)
С другой ñòîðîíû, [a, b] = 1 – g [ïî определению
(3)], откуда
−
Q 1.
s
(5)
Отсюда точная формула для s(g) в случае од.
(6)
1
− =ϕ
g
2
1 () или s =ϕ
s
и перейти в нем к переменной x:
0
ω− ω = ax,
Можно записать
0
g
2
a
ff g
() (1 ) ,
2
ω− ω =
−∆ω
1 − g
2
.
Если теперь рассмотреть контур линии f(ω – ω0)
то () (
1−∆ω=
рассматриваемых частот. Тогда
0
f ω− ω = fax x( ).
) ≡ ϕ
, где ∆ω – интервал
sg f
() =
(1 )
−∆ω
2
g
,
ω− 0ω на (1 )
2
g
(9)
т.е. функция s(g) получается при замене в выражении
для контура разности
−∆ω
.
Как видно, выражения для лорентцевского и доплеровского
контуров подтверждают это правило.
Теперь может быть непосредственно записано выражение
для s(g) в случае фойгтовского контура.
Контур Фойгта имеет вид
κ ω− ω =() 2 kT ay
0
ωπ π −∞
∞
Qmc
i
= () 22 ;
βπ +ξ −
Qa dy
ay
ln2
a
+ξ −
22dy =
()
a
∫
1/2
αα
==
ωπ ∆ω0 2 kT
Расчет функций пропускания при малых давлениях
∫
mc
2 1/2
e
−∞
− 2
y
()
D ()
ln2 .
1/2
917
(10)
e
2 1/2
∞
− 2
y
22,
Стр.3