«Îïòèêà атмосферы и îêåàíà», 21, ¹ 4 (2008)
СПЕКТРОСКОПИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
УДК 535.33.34
Ю.В. Богданова, О.Б. Родимова
О термодинамических зависимостях коэффициентов
разложения радиационных характеристик в ряды экспонент
Институт оптики атмосферы СО РАН, г. Томск
Поступила в редакцию 17.12.2007 ã.
Предложенный ранее метод получения однопараметрических аппроксимационных формул для атмосферных
функций пропускания в заданных спектральных интервалах использовал точные выражения для коэффициентов
разложения исследуемых функций в ряды экспонент и ориентировался на высотное распределение температур
и давлений, характерное для стандартных моделей атмосферы. В данной статье найдена аппроксимация
коэффициентов разложения в ряд экспонент в зависимости от температуры и давления для всего диапазона
температур и давлений, наблюдаемых в атмосфере, которая далее может быть применена к произвольному высотному
распределению термодинамических параметров. Возможности аппроксимации иллюстрируются примерами
расчета радиационных потоков, обусловленных поглощением СО2 в области полосы 15 мкм.
Введение
До появления массовых расчетов line-by-line
при расчете радиационных потоков широко использовались
модели полос поглощения и различные способы
замены поглощения на неоднородных трассах поглощением
на эквивалентных однородных трассах.
При всех преимуществах в точности метода lineby-line
(при использовании правильной формы контура
спектральных линий) по сравнению с моделями
полос он требует существенно большего времени для
своей реализации. Поэтому в радиационных блоках
климатических моделей коэффициенты поглощения,
рассчитанные методом line-by-line для разных давлений
и температур, используются, как правило, для
нахождения коэффициентов разложений функций
пропускания в ряды экспонент с небольшим числом
членов [1, 2], которые далее применяются для расчета
радиационных характеристик и неявно содержат
информацию о термодинамических зависимостях
коэффициента поглощения.
Другим вариантом учета зависимости коэффициентов
разложения в рядах экспонент от температуры
и давления является получение для них аппроксимационных
формул, означающих в какой-то
мере возвращение к моделям поглощения на эквивалентных
однородных трассах. Подобный вариант
реализован в работах Chou et al. [3], получивших
так называемые однопараметрические аппроксимационные
формулы для пропускания, являющегося
функцией только приведенной поглощающей массы.
Эти формулы представляют собой суммы экспоненциальных
членов, которые не связаны напрямую
с упомянутыми разложениями радиационных величин
в ряды экспонент. Они, однако, оказались очень
удобны для применения в радиационных блоках
благодаря простоте и универсальности и, в частности,
используются в климатической модели Института
вычислительной математики РАН [4]. Формулы [3]
недостаточно хорошо описывают поглощение на больших
высотах в связи с трудностями расчета пропускания
при низких давлениях. Также авторам [5]
не удалось получить подобные формулы для озона
в области полосы 9,6 мкм, так что в этом случае
они применяли интерполяционные таблицы. Кроме
того, хотелось бы иметь более адекватные формулы
для оценки поглощения, обусловленного крыльями
линий в некоторых участках спектра, в частности
в интервале 8–20 мкм Í2Î.
В предыдущих работах [6, 7] мы показали возможность
получения однопараметрических аппроксимационных
формул для коэффициентов разложения
радиационных характеристик в ряды экспонент
в произвольных спектральных интервалах для заданного
высотного распределения термодинамических
параметров в рамках стандартных моделей атмосферы.
В данной статье исследуется возможность существования
аппроксимации коэффициентов разложения
в ряд экспонент в зависимости от температуры
и давления, применимой для произвольного высотного
распределения термодинамических параметров.
1. Однопараметрические
аппроксимационные формулы
для пропускания
В работах Chou et al. (ñì., íàïðèìåð, [3]) однопараметрическое
масштабирование сводит неоднородную
трассу к эквивалентному однородному пути
с выделенными давлением pr и температурой Tr.
Пропускание вдоль такой трассы зависит только от
приведенного количества вещества. Коэффициент поглощения
при произвольном давлении и температуре
экстраполируется от коэффициента поглощения при
выделенном давлении и температуре:
О термодинамических зависимостях коэффициентов разложения радиационных характеристик…
283
Стр.1
k pTk p T pp fT,Tr ),
νν
=
)
(,, /
(
rr r
)(
)
m
(
(1)
где m – положительное ÷èñëî, близкое к 1; f – множитель,
учитывающий изменение температуры. Пропускание
слоя с произвольными p, T и поглощающей
массой u, усредненное по зенитному углу θ
(θ = cos–1µ), дается формулой
τ=
νν µ µ µ
() (
u,, 2 exp – , / . (2)
pTkp Tu d
∫
1
0
τ≈τ () () = 2 exp – , / , (3)
νν ν rr
u pTw k p Tw d
,,
∫
1
0
где w есть приведенная поглощающая масса:
() ()
wu rrpp fT T
=
,, .
m
() µ µ µ
(4)
Из сравнения (1) и (4) видно, что масштабирование
коэффициента поглощения эквивалентно масштабированию
поглощающей массы.
Функции пропускания от слоя j1 до слоя j2,
используемые в расчете радиационных потоков [3],
имеют вид сумм экспоненциальных членов
τ=∑ () (5)
−
m
() =
где () () ()
kn kss s
jj j
ii
=
1
j jc k
i 1
21 ii 21w j ,j
;exp –1,66
() (),
js
– константы; w(j1, j2) – соответствующая
поглощающая масса. Для поглощающих
масс СО2 в [3] используются аппроксимационные
формулы вида (4), где u – количество поглощающего
вещества; p и T – давление и температура
рассматриваемого атмосферного слоя;
fT T a T T b T Trr .
( ,1) () ()2
=+ +
–
– r
(6)
Численные коэффициенты в (4)–(6) были найдены
в [3] для каждого из спектральных интервалов при
заданном разбиении ИК-диапазона на 10 спектральных
интервалов js = 1, …, 10.
2. Аппроксимационные формулы
для коэффициентов разложения
функций пропускания
в ряды экспонент
Разложение функций пропускания в ряды экспонент
для однородной трассы означает существование
выражения [1, 2]:
Px
() 1 e –( )
ω′
ω′′
=ω=
∆ω
∫
xκω
d
∑bν e xs g–( )ν .
ν
(7)
Коэффициенты разложений в ряды экспонент
находят чаще всего с помощью методов минимизации,
причем абсциссы ряда экспонент и коэффициенты
при членах ряда получаются из чисто вычис284
0,01
0,1
1000
100
10
1
)
При
однопараметрическом масштабировании пропускание
сводится к
лительной процедуры (см., например, [8]). Наряду
с этим существует способ, дающий точные аналитические
выражения для параметров ряда экспонент
в случае задания спектрального интервала, числа
членов ряда и типа квадратурной формулы [9],
причем от термодинамических параметров зависят
только s(g). Так, для функции пропускания в случае
однородной среды (7) выражение для функции
g(s), обратной s(g), имеет вид
gsd
κω≤
() 1
=ω
∆ω
∫
() s
удобный для численной реализации. Точные теоретические
выражения для коэффициентов разложения
исследуемых функций в ряды экспонент g(s)
получены для неоднородных трасс, перекрывающихся
спектров, интегралов с функцией источника
и радиационных потоков.
Наличие точных формул разложения радиационных
характеристик в ряды экспонент позволяет
обратиться к аппроксимации термодинамических
зависимостей коэффициентов разложения. Коэффициенты
разложения s(g) ведут себя гладко с высотой
(рис. 1), что позволяет надеяться, что коэффициенты
разложения в различных слоях могут
иметь относительно простые зависимости от температуры
и давления.
p, мбар
,
,,]
ω∈ ′′′ω ω
[
(8)
1E-17
1E-12
1E-7
0,01
si
Рис. 1. Поведение коэффициентов разложения в рядах экспонент
в зависимости от высоты для СО2 в атмосфере лета
средних широт в спектральном интервале 720–800 см–1
(5 членов ðàçëîæåíèÿ). Шаг по частоте в расчете line-by-line
∆ω = 0,01 ñì–1
Можно предполагать [6], что коэффициенты
давлении pr и температуре Tr могут быть использованы
для нахождения s i
мощью формул, подобных (4):
(
ss A j=ρ +
() ( )jjr
ii
2
+ 0,000112( – ) (TT rp
jr j p ) ,
)
CO ( ) 1 0,0184(T – )T +
20,5
jr
(9)
где s i
(j) – коэффициенты разложения в ряды экспонент,
функций пропускания, взвешенных с функцией
Ïëàíêà; j – номер ñëîÿ; i – номер члена разложения;
A – варьируемый параметр; ρ – плотность.
Богданова Ю.В., Родимова О.Б.
разложения s i
(jr) в слое jr при некоторых средних
(j) в остальных слоях с по
Стр.2
На рис. 2 представлены результаты расчета с использованием
формулы (9) с А = 1,25 в сравнении
с другими способами расчета. Рис. 2 показывает приемлемое
согласие между различными способами расчета
до высот около 50 êì.
р, мбар
10
характер изменения скорости выхолаживания с высотой
качественно отражает таковой для расчета lineby-line.
3.
Аппроксимационные формулы
для s(g) с произвольной зависимостью
от температуры и давления
Полученные ранее результаты показали возмож100
ность
получать однопараметрические аппроксимационные
формулы для коэффициентов разложения
в ряды экспонент в произвольных спектральных
интервалах для определенных моделей атмосферы.
При этом аппроксимационные выражения для поглощающих
масс, приводящие их к некоторым средним
температуре и давлению, переносятся на коэффициенты
разложения в ряд экспонент:
1000
0
0,05
0,10 R, Ê/äåíü
– расчет line-by-line с шагом 0,002 ñì–1; ο – расчет
с помощью рядов экспонент (8) с 5 членами ряда;
_____
–
расчет по формулам [3]; – расчет по аппроксимационным
формулам (9) с А = 1,25
В дальнейшем для подбора параметров в коэффициентах
разложения использовалась программа
нелинейной минимизации суммы квадратов отклонений.
Аппроксимирующее выражение задавалось
в виде ôóíêöèè, зависящей от параметров k1, k2, …
и переменных s i
(jr). Было найдено предпочтительным
аппроксимировать не сами коэффициенты разложения,
а их логарифмы.
На рис. 3 приведены значения скоростей выхолаживания,
полученные с помощью выражения
2
log10si i
()
i
jk ki k i k
jr
L =+
×+ TT1( – ) ).
2
(
p, мбар
ÑÎ2
10
720–800 ñì–1
∆ω = 0,01 ñì–1
100
Rappr
Rexp
Rline-by-line
RChou
jr
L
)
( 1) (p L p ++
1 ()
23 4
Ч
(10)
Значения pr = 300 ìáàð, Tr = 250 К были оставлены,
как в [3]. Температурный множитель не имеет
при этом существенного значения. Хотя желаемой
по точности аппроксимации тогда добиться не удалось,
Рис. 2. Скорость выхолаживания R для СО2 в интервале
720–800 ñì–1, полученная с помощью различных способов
расчета для атмосферы лета средних широт (33 слоя):
s g pTF p T p Ts g p T
=
rr r
(, , ) (, , , ) ( , , ),
r
(11)
где s (g, pr, Tr) – коэффициенты разложения при фиксированных
температуре и äàâëåíèè; s(g, p, T) – коэффициенты
при произвольных температуре и давлении.
Если
построить таблицу коэффициентов поглощения
для ряда значений температур и давлений
в данном спектральном интервале, найти соответствующие
коэффициенты разложения si и по этим si
построить удачные аппроксимационные формулы,
последние должны быть применимы для любых моделей
атмосферы.
Таблица коэффициентов поглощения и соответствующих
si была построена для температур от
170 до 370 К (41 çíà÷åíèå) и давлений от 1000 до
⋅
5
10–6 мбар (32 çíà÷åíèÿ). Однако в этом случае
подгонка оказалась не слишком хорошей. Поэтому
из таблицы были удалены некоторые пары «температура
– давление», нехарактерные для атмосферы
Земли. Количество точек по температуре и давлению
уменьшилось при этом с 1312 до 336: для каждого
из выбранных 28 значений давления находились
12 значений температур с шагом 5 К, которые
перекрывали разброс температур, характерный для
моделей атмосферы. На рис. 4 приведены значения
наибольшей и наименьшей температур, использованных
для каждой высоты, на фоне стандартных
модельных температур [10].
Для аппроксимации значений si, полученных
в рамках описанной таблицы, было найдено удобным
использовать следующее выражение:
sp T QTQTs p T
=
iri
(, ) 10 ( )/ ( ) ( , ),
f
где
fK
1000
=+ +
7 log
06
log
21
K T
3
ss
KK p
TT log10
logxK K logp
–.
log10
is
s
log10
++
–0,1
0
0,1
0,2
0,3 R, Ê/äåíü
Рис. 3. Поведение скорости выхолаживания с высотой при
различных способах ðàñ÷åòà. Расчет line-by-line с контуром
Ôîéãòà, обрезанным на 10 ñì–1
log ––10
54
ss
i
x K + +K K p
8
(13)
В (13) Ts = T/Tr; ps = p/pr; Q, Q(Tr) – относительные
статсуммы для соответствующих температур; xi –
абсциссы гауссовых точек. Коэффициенты K0, …, K8
О термодинамических зависимостях коэффициентов разложения радиационных характеристик…
285
(
)
r
r
(12)
Стр.3