«Îïòèêà атмосферы и îêåàíà», 25, ¹ 7 (2012)
ОПТИКА СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД
УДК 535.24; 535.6
Влияние оптического вихря на случайные
смещения Лагерра–Гауссова лазерного пучка,
распространяющегося в турбулентной атмосфере
*
Â.Ï. Àêñåíîâ, ×.Å. Погуца
Институт оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН
634021, ã. Òîìñê, ïë. Академика Çóåâà, 1
Поступила в редакцию 13.12.2011 ã.
няющегося в среде с неоднородностями диэлектрической проницаемости. Пучок является циркулярной модой
пучка Лагерра–Гаусса LG 0
Посвящена исследованию случайного блуждания центра тяжести вихревого лазерного пучка, распростраl
.
Нами получены оценки влияния турбулентных условий распространения, дифракционных
параметров и азимутального индекса (топологического заряда) пучка на величину дисперсии
смещений его центра тяжести. Обнаружен «эффект гироскопа», заключающийся в том, что в режимах слабой
и умеренной турбулентности случайные смещения центра тяжести вихревого лазерного пучка оказываются
тем меньше, чем больше топологический заряд включенного в пучок оптического вихря.
Ключевые слова: смещения центра тяжести, случайные блуждания пучка, турбулентная атмосфера, вихревые
ïó÷êè; shifts of a center of gravity, random flights of a beam, turbulent atmosphere, vortex beams.
В последние годы значительное число статей,
опубликованных в журналах по оптике, посвящается
вихревым оптическим пучкам. Эти пучки обладают
изолированным минимумом интенсивности (нулем)
в своем поперечном сечении. В направлении продольной
оси пучка нули интенсивности составляют
«нуль-линию». Векторное поле наклонов волнового
фронта в окрестности нуля обладает теми же свойствами,
которыми обладает вихревое течение идеальной
жидкости, поэтому такой физический объект
называется оптическим вихрем.
Каждому оптическому вихрю может быть сопоставлен
топологический заряд, который представляет
собой целое число l (положительное или отрицательное)
в приращении фазы S(r) = 2πl рад [1], которое
возникает при обходе нуля интенсивности вдоль замкнутого
контура. Дислокации волнового фронта, фазовые
сингулярности, особые точки, точки ветвления
фазовой функции – это названия закономерностей
поведения действительной фазы когерентного светового
пучка, несущего оптический вихрь.
Характерным примером пучков с оптическим вихрем
является лазерный пучок Лагерра–Гаусса (LG)
[2]. Световые лучи в таком пучке имеют вид раскручивающихся
спиралей, демонстрируя в пространственных
переменных вращательно-поступательное движение
световой энергии вокруг его оси при возрастании
продольной координаты [1]. Вихревые LGпучки
обладают орбитальным угловым моментом
(ÎÓÌ) [1, 3]. ОУМ вихревого лазерного пучка в îä______________
*
Валерий Петрович Аксенов (avp@iao.ru); Чеслав
Евгеньевич Погуца (pce@iao.ru).
© Аксенов Â.Ï., Погуца ×.Å., 2012
нородной среде прямо пропорционален топологическому
заряду оптического вихря. Топологический заряд
оптического вихря, или орбитальный угловой момент,
может выступать носителем информации [4].
Как правило, среда, через которую распространяется
лазерный пучок, искажает его. Естественно,
что для систем связи, применяющих оптические вихри
для кодирования информации, возникает необходимость
исследовать влияние среды на распространение
вихревых лазерных пучков. Примером такого
исследования могут служить работы [5–8], в которых
анализируется влияние случайных аберраций,
обусловленных турбулентностью атмосферы, на работу
системы связи, использующей оптический вихрь.
Было установлено, что топологический заряд вихревого
пучка является достаточно устойчивой величиной,
что позволяет использовать его в атмосферных
оптических линиях связи.
В настоящей статье также исследуется распространение
вихревого лазерного пучка в турбулентной
атмосфере. Однако внимание уделено не проблемам
трансформации сигнального оптического вихря, являющегося
носителем информации, не исследованию
формирования и эволюции фазовых сингулярностей
на волновом фронте пучка (дислокаций волнового
фронта), возникших благодаря деструктивной интерференции
парциальных волн, а смещениям центра
тяжести вихревого пучка как целого, которые
происходят под действием крупномасштабных неоднородностей
показателя преломления. Ведь функционирование
оптической системы связи невозможно
планировать без учета флуктуаций направления
распространения излучения.
561
Стр.1
Случайные смещения (блужданий) гауссовых
лазерных пучков в турбулентной атмосфере хорошо
изучены [9, 10]. Эта величина определяется выражением
rrr
z
∞∞
Czd I( , ) r,
0 ––
() 1
=⋅
P ∫∫
∞∞
2
(1)
для интенсивности
где I(r, z) – случайное распределение интенсивности
в поперечном сечении пучка;
PI(; )z d
∞∞
=
0
––
∫∫
∞∞
ρρ –
его полная мощность. Для расчетов статистических
характеристик величины (1) используют численные
[11] и аналитические подходы [9, 10].
Будем использовать аналитический подход [12],
который базируется на следующем интегральном
представлении rC(z):
z
rr r ξCr (2)
∞∞
() 1
zd d2r z( – )I( ; ) ( ; ).
=ξ ξ
0 0– –
2P ∫∫ ∫
выражение для σ= r – дисперсии вектора rC(z)
r zC() = )0 :
22
СС
(при
z
С
2P∫∫∫
∞∞
2
×ξ ξ
∞∞
––
∫∫
ãäåΦξ)
dr exp ( – ) ( ; ) (r2; ) ,
2
21 2 {}iκ rr rI 1
I
00––
(– )
ε κ ,
2
∞∞
σ= π ξ ξdz d κΦ ξ κ () ∫ ∫ d2r1 Ч
22 2
∞∞
(3)
ε ( κ , – спектр флуктуаций диэлектрической
проницаемости среды.
Получило распространение «среднеинтенсивное»
приближение, заключающееся в приближенной замене
в представлении (3):
II ( ; ) (r ; ) .
(; ) ( ; )rr r
12 1
ξξ ≈ ξ
I
I
2 ξ
Это приближение с хорошими результатами [10]
применяется для расчетов флуктуаций «центра тяжести»
лазерных пучков в случайно-неоднородной
среде.
где а – эффективный радиус пучка; с – скорость
света.
Для получения функции J(, ξ)κ
(, , ) – , ,0z
k
(4)
где
×ξξ
0
exp –
(9)
ρκ ρ κ
z
z
×
κ
πkz
4 ∫
2
γ= Γ
π
(, , )ρκ z
Нас не должно смущать, что при распространении
вихревого пучка в свободной атмосфере интенсивность
в его центре обращается в нуль. Формула
(4) содержит поперечный профиль интенсивности.
Этот профиль при включении в пучок оптического
вихря принимает вид «пончика» [1, 2] демонстрируя
перераспределение плотности энергии от центра к периферии.
По мере распространения пучка в случайно-неоднородной
среде начальное распределение
«расплывается», оптический вихрь (с нулем интенсивности
в центре) смещается случайным образом
с начального осевого положения, оптические вихри
с > 1l
562
(, , )
=+ –
и сдвига ρ rr точек наблюдения; k – волновое
число;
=
12
Hd.ρκρ
() 2 [1–cos ]
=Φε () κ
∫
распадаются на совокупность вихрей с l = 1.
Тем не менее среднее распределение интенсивности
С учетом того что
Аксенов Â.Ï., Погуца ×.Å.
γ=
k
κ ,ξ
0
2
–, ,0 ( , )
z Jz
(11)
κ κκ – Фурьеспектр
интенсивности в свободном пространстве
1
4
2
∫∫
Γ≡ ((Γ
uzu R(2, )
( –
Hd
k
2 (, ; )e
i
ρ κ– (1– ) ,
ρ RzdRRκ
–2
Rr rρρ2, ) = u( , )z u (
22 +RR R2, – 2, )zz=
**
ρρ ρ
z
,
12, )
z
– функция когерентности второго порядка, записанная
в координатах центра тяжести
Rr r
= +
()2
12
(10)
воспользуемся,
как это было сделано в [12], представлением
γ =γ
ξ ∇ ε
⊥
Здесь ε(, , )xy z – флуктуации диэлектрической проницаемости
среды; ξ – переменная интегрирования.
Представление (2) позволяет получить следующее
∞∞
I zJ z
(; )
∗
(
r =κ (6)
(, =) (– , ) ,
∫∫
с учетом (4) получим
σ= π ξ ξ Ч
P ∫dz
С
∞∞
×κΦε (),ξ κ
––
∫∫
∞∞
значениями азимутального индекса l (топологического
заряда оптического вихря). Комплексная амплитуда
поля такого пучка в исходной плоскости
(z = 0) будет иметь вид
u r 0) =
(, 18Φ +
r
acl a
!
rir
xy
exp – ,
2a2
2
l
(8)
квадрат смещения центра тяжести пучка LG. Выберем
циркулярную моду пучка LG 0
Вычислим на основании выражения (7) средний
l с произвольными
dJ( ,) (–κ,) .
22
κκ J
ξ
ξ
(7)
22
2
8
5
(– )
0 0
z
(κ, )eiκrd
Jz J zκκ
)
2
не достигает нулевых значений ни в одной из точек
поперечной плоскости. Используя Фурье-представление
Jz
I r z d rrκ
–2
(,) 1
κ
=
4π ∫∫ ( ; )e
2
i
(5)
Стр.2
( 0(, )Iz
r – соответствующая интенсивность [13],
)
вместо (9) получим
×ζκ exp – ( ) –0,142
exp –κR πζ
0
Iz z J zRR κ
×κ πβ0 κ
(, 20 =Γ)
z
0
Применяя формулу (6), запишем
=×
22 2
×ζ σ= β106 0
exp –
kz
Jz ( , )J zκκ
2
(13)
πζ
4 ∫
(, )
z
0
Hd
kz
– 1– .
κ
Чтобы найти J0(κ, ζ), рассчитаем комплексную
амплитуду поля лазерного пучка с исходным распределением
(8) в приближении френелевской дифракции:
22
,
uz kik
(, ) =
r
и для Iz u
0(, ) ( , )
Ir kkz(, )
!
0 22
8
=
rrz будем иметь
+
=
cl z gz
ΦΩ Ω
r
2 l
exp –
l
()
1
z gz
( )
r
π
2
iz d u( ,0) exp
∫∫ ρρ
z
(– 2)
ρ
r
2
С ,d d
ΩΩ
a
222
ξ+ Ω
1
∫∫ Ll
(1– )
×κ πβ ξ κ
exp ()22330
85
Ω
–
ξ+ Ω
2
Для сравнения результатов расчета σ С
2 с результатами
численного моделирования распространения
лазерного пучка методом Монте-Карло [11] перепишем
(19), используя вместо параметра β 0
2 структурную
функцию фазы сферической волны, вычисленную
на размере выходной апертуры D s(2a) =
Ck z a
== β Ω
53
0,275 (2 ) 2,84 .
ε
, (14)
где g2(z) = 1 + Ω2, Ω = ka2/z.
Подставляя (14) в (6), переходя к полярным координатам,
интегрируя по угловой переменной, а при
интегрировании по радиальной переменной, используя
табличный интеграл [14, формула 2.12.9.3], получим
Jz
ck
( )
×κ.
L gz z
k
Ω
Здесь
Lx
ml m – полином Ëà0
= mm
(–1)
l
l
m 0
∑
=
(!) – !
2
()
герра [15].
Тогда в соответствии с (13) для Фурье-представления
средней интенсивности на дистанции z в турбулентной
среде запишем
×ζ∫
exp –
(16)
4
– 1– .
kz
Jz ( ,)J zκκ
z
0
πζ
0
(, ) =×
2
Hd
kz
κ
При расчетах σ С
2 используем пространственный спектр
флуктуаций диэлектрической проницаемости среды
(
Φξ =
εε)
033
κ ,C ,
,0 2κ–11 3
диэлектрической проницаемости.
где С ε
2 – структурная характеристика флуктуаций
(17)
l !
l 4
2
0(, 21 ( )gz z κ Ч
2
κ= Φ
ξ+ Ω
) exp –4
02
πΩ
1
2
(15)
×κ
ex () 2
2
p –
22
Ω
–0 314 (2 )a Ω
,Ds
–5 6 8 3 5 3
ξ
κ
22
выражение
1
σ= 0373 (2 ),D a a Ω ξ ξ Ч
0
Ñs (1– )
22–11 6
∞
×κκ
0
∫
∫d
dLl
–2 3 02
Ω
()
4
ξ+ Ω
22 2
κ Ч
.
(20)
На рис. 1 представлены результаты расчета
среднеквадратического отклонения σС центра тяжести
гауссова пучка по формуле (20) и по методу
Ìîíòå-Êàðëî, описанному в [11].
Будем иметь в виду, что моделирование в [11]
проведено в рамках кармановского спектра атмосферной
турбулентности
Φξ =
=κ + π
(
22–11 6
(2 )M
)
εε), 0 033
( κ ,C
2 =
с конечным внешним масштабом
М, а взятая нами модель спектра отвечает кармановской
модели с бесконечным внешним масштабом
[9]. Расхождения между зависимостями, полученными
на основе нашего рассмотрения и с помощью
метода Монте-Карло, укладываются в указанный
диапазон погрешности [10] «среднеинтенсивного»
приближения (4).
Результаты расчетов σС, пучков Лагерра–Гаусса
с различными значениями азимутального индекса l
продемонстрированы на рис. 2.
Они свидетельствуют о бульшей устойчивости
вихревых пучков к воздействию турбулентной атмосферы
по сравнению с гауссовым пучком, не несущим
Влияние оптического вихря на случайные смещения Лагерра–Гауссова лазерного пучка…
563
2
2
0
5 6
В дальнейших численных расчетах используем
–0,284
00
22
ξ ξ κκ
4
– () 2
2
3
0
.
(19)
iH d 2
4 ∫
kz
– 1–
2
(0, , ) = ∫
κ
kz d .
(12)
.
5 5
4a kk (18)
1 22 6
2gzzz 3
2
2
Здесь β= ,Ck
ε
227 6 11 6
0 0307
ñòè. Подставив (17) в (7), получим
∞
z – параметр турбулентно2
κ
Ч
( , ) Ч
С учетом (15)–(17)
J,z L g z
ck
() 21 ( )
l 4
a
κ =κ×
π
Φ
02 2
2
z
2
Стр.3