Естественные и технические науки, № 5, 2012
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Физико-математические науки
Математика
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Яндаров В.О., кандидат физико-математических
наук, профессор, советник
ректора Грозненского государственного
нефтяного технического института
им. академика М.Д. Миллионщикова
НЕКОТОРЫЕ
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
В статье рассматриваются и доказываются теоремы, относящиеся к банаховым пространствам.
Ключевые
слова: банахово пространство, подпространство, сопряженность.
SOME CHARACTERIZATION OF BANACH SPACES
This article describes and proves theorems related to Banach spaces.
Keywords: banaсh space, supbspace, conjugate.
в такое же пространство Х, то это обозначается Х1∈Е(Х). Если Х1∈Е(Х), то через Z* обозначается
замыкание Х*, сопряженного к Х, в пространстве Х1
Если бесконечномерное банахово пространство Х1 слабо компактно и плотно вложено
*, сопряженном к Х1; Wx(Х1) – относительное
пополнение Х1 относительно Х [1]: если В1(Х1) – пополнение замкнутого единичного
шара В(Х1)⊂Х1 по норме в Х или в топологии σ(Wx(Х1), Z*)[7], то
Wx(Х1)= nU В1(Х1). Ненулевой элемент х*∈Х1
дефлектором в Х1
n
∞
=1
на Х1
*, сопряженного к Х1 пространства, называется
(обозначение: Kerx*∈(W)): Wх(Kerx*)=Wx(Х1). Хорошо известно [2–6], если Х1
ство, сопряженное к Х1, то элементы х*∈Х1
*, если гиперподпространство – ядро Kerx*⊂Х1 обладает свойством (W)
* – пространАналогично
можно считать элементы х∈Х1 линейными непрерывными функционалами
*, что позволяет считать вложенным (естественно) Х1 в Х1
пространство. Такой технический прием можно применить к замкнутым подпространствам
Y⊂Х1 и к ним сопряженным Y*, которые в нашем случае являются замкнутыми подпространствами
в Х1
в пространстве Х1 с помощью следующего равенства (см., например, [2–6]):
,
х = sup{ ( ) :
x x x B X x X1
∗
∗
∈ (
где В(Х1
няем терминологию: х и у «ортогональны». Если Y* – замкнутое подпространство в Х1
и у∈Х1
*)={x*∈Х1
*: х
1 )}, ∈
∗
∗ ≤1} – замкнутый единичный шар в Х1
*, сопряженном к Х1. Такой подход оправдывает часто определить норму
(1)
*. Таким образом, под нормой
⋅ в Х1 можно понимать обычную норму и норму, определенную равенством (1). Если х∈Х1
*, то будем писать, что х⊥у или у⊥х, х(у)=у(х)=0. В этом случае мы иногда приме17
*,
то
*, линейные непрерывные функционалы на Х1.
** – второе сопряженное к Х1
Стр.1
Естественные и технические науки, № 5, 2012
под аннулятором Y*⊥ в Х1 понимается множество всех элементов из Х1 таких, что каждый
из них «ортогонален» каждому элементу у*∈Y*, т. е.
Y*⊥(Х1)={x∈Х1:x(y*)=y*(x)=0 ∀y*∈Y*}. (2)
Понятие ортогональности в гильбертовом пространстве определяется скалярным произD(P)=Х1
называется проектором, если Р2=Р. Если оператор Р ограниченный, то проектор Р называется
непрерывным. Оператор Q=I-P, где I – тождественный оператор в Х1 или единичный
I:Х1→Х1, называется проектором [2–6], дополнительным к проектору Р. Очевидно, имеют место
равенства: РQ=QP=0 – нуль-оператор. Каждый проектор Р в Х1 порождает представление
Х1 в виде прямой суммы Х1=РХ1⊕QХ1, где im Р=Р(Х1), Q(Х1)=KerР={х∈Х1:Р(х)=0}. Напомним,
что если М и N-подпространства в Х1, то алгебраическая сумма М+N={x+y:x∈М, у∈N}
при условии, что МI N={0}, где {0} – множество, состоящее из нуль-элемента в Х1, называется
прямой суммой и обозначается М⊕N. Разложение пространства Х1 в виде прямой суммы,
т. е. Х1=М⊕N, определяет проектор Р пространства Х1 на подпространство М параллельно
N(Q=I-P называется проектором пространства Х1 на N параллельно М). Прямая сумма
Х1=М⊕N называется топологической прямой, если проектор Р пространства Х1 на М паралведением:
если Н-гильбертово пространство и (•,•) – скалярное произведение, то х⊥у
(х, у∈Н) означает, что (х, у)=0. Если определяется «ортогональность» в общей форме, то
элементы х и у должны принадлежать нормированным пространствам Х и Y(х∈Х, у∈Y), находящимся
в двойственности [6], т. е. в общем случае, когда рассматривается «ортогональность»
двух элементов х и у, то один из элементов х и у мыслится как линейный непрерывный
функционал, а другой элемент мыслится его аргументом: х(у)=у(х)=0. Таким образом,
понятие ортогональности в гильбертовом пространстве отличается от понятия «ортогональности»
в общем случае. Это связано с тем, что гильбертово пространство Н является самосопряженным:
Н=Н* – сопряженное к Н пространство.
Пусть Х1 – банахово пространство. Линейный оператор Р:Х1→Х1 с областью определения
лельно N является непрерывным (обозначение: Х1=М+ N). Ради удобства топологическую
•
прямую сумму будем обозначать так же, как прямую сумму. Таким образом, прямые суммы
у нас – топологические прямые суммы. Если Х1=М⊕N – прямая сумма (топологическая), то
М(N) называется дополняемым подпространством в Х1. Если одно из слагаемых в прямой
сумме Х1=М⊕N является аннулятором какого-нибудь подпространства из другого банахова
пространства (или того же пространства Х1), находящегося в двойственности с пространством
Х1 [6], то говорят, что другое прямое слагаемое в указанной прямой сумме есть супердополняемое
подпространство Х1=М⊕N, а N – его супердополнение в Х1. Например, пусть
Y* – замкнутое подпространство в Х1
тому подпространству Y⊂Х1 и выполняется равенство
Х1=Y⊕Y*⊥(Х1), (3)
где Y*⊥(Х1) – аннулятор Y*, сопряженное к Y, в пространстве Х1. В этом случае можно считать
элементы х∈Х1 линейными непрерывными функционалами на Х1
ложению, пространство Х1 естественно вложено в Х1
ваемом нами классе банаховых пространств). Прямая сумма (3) содержит аннулятор Y*⊥,
а это по определению означает, что подпространство Y в этой сумме супердополняемо в Х1.
Второе слагаемое в (3) – Y*⊥(Х1) – супердополнение к Y. Из дополняемости подпространств
Y⊂Х1 не следует супердополняемость их. Так что введенное нами понятие супердополняе18
ство,
а каждое замкнутое подпространство Y⊂Х1 естественно вложено в Y**, второе сопряженное
к Y⊂Х1 подпространство в Х1
**, второе сопряженное к Х1 простран*
и Y*⊂Х1
* (по пред**
(это новейшая идея, которая реальна в рассматри*,
которое является сопряженным к некоторому замкну
Стр.2
Естественные и технические науки, № 5, 2012
мости обобщает понятие ортогональной дополняемости в гильбертовых пространствах, путем
обобщения понятия ортогональности для класса банаховых пространств, охватывающего
гильбертовы, рефлексивные пространства, пространства Гельдера, обобщенные пространства
Гельдера, некоторые пространства Никольского и Бесова [15] и другие.
Пространством Розенталя Х1 (обозначение: Х1∈(R)) называется такое банахово пространство,
которое не содержит подпространств, изоморфных .1l Пространства Х1∈(R) характеризуются
теоремой Розенталя [14]: для того чтобы банахово пространство Х1 было пространством
Розенталя (Х1∈(R)), необходимо и достаточно, чтобы из каждой ограниченной последовательности
в Х1 можно было выделить слабую подпоследовательность Коши, необязательно
сходящуюся в Х1. Многие известные банаховы пространства являются пространствами Розенталя.
Сепарабельные пространства Розенталя изометрически изоморфны сепарабельным пространствам
Розенталя Х1∈Е(Х), сопряженные к которым не имеют дефлекторов: Х1
*. Одной из фундаментальных проблем С. Банаха была следующая проZ*
– замыкание Х* в Х1
*=Z*, где
блема, которую пытались решить почти до конца 20-го века [8–13, 16]: пусть Х – банахово
пространство такое, что произвольное его подпространство Y является дополняемым (в обычном,
широком смысле), т. е. существует проекция Р:Х→Y. Изоморфно ли Х гильбертову пространству
Н, т. е. существует ли обратимый линейный и непрерывный оператор Т:Х→Н?
Сначала эта проблема была положительно решена Ю Линденштраусом и Л. Цафрири [16],
а затем отрицательное решение проблемы С. Банаха было получено в [8–13]. Положительное
решение в [16] устанавливало, что свойством гильбертового пространства дополняемости каждого
замкнутого подпространства обладает только «одно» гильбертово пространство. К счастью,
такое решение проблемы С. Банаха, как доказал автор этой статьи [8–13], оказалось некорректным.
Таким образом, до конца 20-го века не нашлось автора, плодотворно для науки
решившего проблему С. Банаха. Мы приведем некоторые результаты, полученные ранее автором
данной статьи [8–13, 17–19], в более доступной форме и дающие обоснование решения
указанной проблемы.
Т е о р е м а 1. Пусть Х1∈Е(Х). Для того чтобы выполнялось равенство Х1
*=Z*, необходимо
и достаточно, чтобы для любого собственного замкнутого подпространства Y⊂Х1
и сопряженного к нему Y* существовал ненулевой элемент х0∈Х1\Y такой, что
ное Y* к любому замкнутому подпространству Y⊂Х1 регулярно замкнуто в Х1
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Х1
х0(у*)=0 ∀у*∈Y*. (4)
*=Z*. Тогда по теореме 9 в [9] сопряженследнего
включений следует, что Z*⊂Y*. Отсюда следует, что в равенстве (4) х0 – нульэлемент,
а это противоречит условию доказываемого утверждения. Следовательно, предположение
о существовании дефлектора не верно. Теорема 1 доказана.
П р е д л о ж е н и е. Пусть Х1∈Е(Х) и Х1
*⊂Y*. Хорошо известно [11], что всегда Z*⊂Х1
*. Тогда из предыдущего и пов
Х1, сопряженное к которому Y*. Для того чтобы ядро Kery⊂Y*, где у – ненулевой элемент
из Wх(Y), было тотально на Y, необходимо и достаточно, чтобы у∈Wх(Y)\Y [17].
*=Z*. Кроме того, Y-замкнутое подпространство
19
т. е. Y=Kerx*∈(W):Wх(Y)=Wх(Х1). По условию доказываемого утверждения для Y=Kerx*
и сопряженного к нему Y* существует ненулевой элемент х0∈Х1\Y такой, что выполняется
равенство (4). Так как Y⊂Х1, то переходя к сопряженным пространствам, будем иметь
включение: Х1
замкнутому подпространству Y⊂Х1. Предположим, что существует дефлектор х*∈Х1
тельно, существует ненулевой элемент х0∈Х1\Y такой, что х0(у*)=0 ∀у*∈Y*, т. е. выполняется
равенство (4).
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполняется равенство (4) для сопряженного Y* к любому
*\Z*,
* и, следова
Стр.3