Естественные и технические науки, № 4, 2012
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Физико-математические науки
Математика
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Яндаров В.О., кандидат физикоматематических
наук, профессор,
советник ректора Грозненского государственного
нефтяного технического
университета им. академика
М.Д. Миллионщикова
О РАЗЛОЖИМОСТИ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ И
НЕТОТАЛЬНОСТИ ИХ ПОДПРОСТРАНСТВ
В данной работе проанализирована разложимость банаховых пространств, нетотальность их
подпространств, решена проблема Банаха.
Ключевые слова: банахово пространство, дефлектор, тотализатор, сепарабельность.
ON SEPARABILITY OF BANACH SPACES AND NON-TOTALITY OF THEIR SUBSPACES
In this article, we have analyzed separability of Banach spaces, non-totality of their subspaces, and have
solved Banach problem.
Keywords: Banach space, deflector, totalizer, separability.
В основном в статье используется общепринятая терминология в функциональном анализе
[1-7], а малоизвестная терминология объясняется ниже.
Пусть Х1 и Х – бесконечномерные банаховы пространства над одним и тем же число*
и Х* обозначаются банаховы
вым полем, скажем, полем действительных чисел. Через Х1
пространства, сопряженные к Х1 и Х соответственно. Символика Х1∈Е(Х) обозначает, что
банахово пространство Х1 слабо компактно и плотно вложено в такое же пространство Х.
Если Х1∈Е(Х), то через Wx(Х1) обозначается относительное пополнение Х1 относительно
Х [5], а через Z* обозначается замыкание Х*, сопряженного к Х, в пространстве Х1
*, сопряженном
к Х1 (по норме). Замкнутое подпространство Y в Х1 (или в Wx(Х1)), которое обладает
свойством: Wx(Y)=Wx(Х1), обозначается символикой Y∈(W) или, говорят, что Yобладает
свойством (W). Нередко случается, что Z* изометрически изоморфно сопряженному
пространству или, что все равно, Z* является сопряженным пространством к некоторому
замкнутому подпространству Y⊂Х1. Например, если Х1=С[0,1], X=L2[0,1] (Х1∈Е(Х)), то
Z*=L1[0,1]. Как доказано И.М. Гельфандом [8], пространство L1[0,1] не является изометрически
изоморфным сопряженному пространству. Если бы это было не так, то сопряженное
L∞
[0,1] к L1[0,1] имело бы неприводимое подпространство Y⊂С[0,1] такое, что Y*=L1[0,1].
Тогда по теореме 2 в [9] это означает, что Y-пространство Розенталя (обозначение: Y∈(R))
и пространство Y обладает свойством (W)[10]. Пространством Розенталя называется банахово
пространство, которое не содержит подпространств, изоморфных 1
l . По теореме
Розенталя [7] такие пространства Х1 обладают свойством: из каждой ограниченной последовательности
{xn}⊂Х1 можно выделить слабую подпоследовательность Коши {x kn
}. Ра16
Стр.1
Естественные и технические науки, № 4, 2012
нее нами доказывалось, что это свойство равносильно свойству: в Х1 не существует бесконечномерного
секвенциально слабо полного и нерефлексивного подпространства (замкнутого).
зывается
дефлектором в Х1
ли его ядро Kerx**⊂Х1
свойством (W): Wх(Kerx*)=Wх(Х1), а ненулевой линейный непрерывный функционал (элемент)
х**∈Х1
Если Х1∈Е(Х), то ненулевой линейный непрерывный функционал (элемент) х*∈Х1
*, если его ядро (гиперподпространство) Kerx*⊂Х1 обладает
вается секвенциальным, если он является слабым (точнее, слабым*) пределом слабой (слабой*)
последовательности Коши {xn}⊂Х1.
Замкнутое подпространство Y⊂Х1 со свойством (W)(Y∈(W)) называется наименьшим
**, второе сопряженное к Х1 пространство, называется тотализатором в Х1
* содержит пространство Z*:Kerx**⊃ Z*. Тотализатор х**∈Х1
**, назы**,
ес(минимальным)
в Х1, если Х1 не содержит собственного замкнутого подпространства Y1⊂Y
со свойством (W). Будем предполагать, не умаляя общности, что наименьшее (минимальное)
замкнутое подпространство Y⊂Х1 является таким же наименьшим (минимальным) и в
Wх(Х1). Наименьшее (минимальное) замкнутое подпространство в Х1 относительно других
свойств банаховых (топологических) пространств называют неприводимыми относительно
этих свойств, если их собственные замкнутые подпространства не обладают этим свойством
[6, 11].
нулевой элемент х∈Х1 такой, что х*(х)=0 ∀х*∈Y. Если последнее равенство выполняется
для ненулевого элемента х∈Y0 – подпространства в Х1, то говорят, что Y нетотально на Y0.
Совершенно очевидно, если Y0=Х1, то Y⊂Х1
* – нетотальные в Х1
Замкнутое подпространство Y⊂Х1
на Х1 подпространства в Х1
странства в Х1
* называется нетотальным в Х1
если для любого элемента х*∈Х1\L существует такой элемент х0∈Х1, что выполняются
равенства
* называется регулярно замкнутым в Х1
х*(х0)=1, z*(х0)=0, ∀z*∈L.
гулярно замкнутым в Х1
С. Банах впервые ввел понятие регулярно замкнутого или слабо* замкнутого подпро*:
замкнутое подпространство L⊂Х1
* называется нетотальным на Х1. Нетотальные
* подпространства в Х1
*.
*,
(1)
Если равенства (1) выполняются при условии, что х0∈Wх(Х1), то L называется квазире*[12-14].
Т
е о р е м а 1. Пусть Х1∈Е(Х). Для того чтобы выполнялось равенство Х1
х0(у*)=0 ∀у*∈Y*.
женное Y* к любому замкнутому подпространству Y⊂Х1 регулярно замкнуто в Х1
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Х1
*=Z*, необходимо
и достаточно, чтобы для любого собственного замкнутого подпространства Y⊂Х1 и
сопряженного к нему Y* существовал ненулевой элемент х0∈Х1\Y такой, что
(2)
вательно, существует ненулевой элемент х0∈Х1\Y такой, что х0(у*)=0 ∀у*∈Y*, т.е. выполняется
равенство (2).
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполняется равенство (2) для сопряженного Y* к любому
замкнутому подпространству Y⊂Х1. Предположим, что существует дефлектор х*∈Х1
него включений следует, что Z*⊂Y*. Отсюда следует, что в равенстве (2) х0-нуль-элемент, а
*⊂Y*. Хорошо известно [10], что всегда Z*⊂Х1
*. Тогда из предыдущего и послед17
*=Z*.
Тогда по теореме 9 в [13] сопря*
и, следот.е.
Kerx*∈(W):Wх(Kerx*)=Wх(Х1). По условию доказываемого утверждения для Y=Kerx* и
сопряженного к нему Y* существует ненулевой элемент х0∈Х1\Y такой, что выполняется равенство
(2). Так как Y⊂Х1, то, переходя к сопряженным пространствам, будем иметь включение:
Х1
*\Z*,
* на*,
если существует не
Стр.2
Естественные и технические науки, № 4, 2012
это противоречит условию доказываемого утверждения. Следовательно, предположение о
существовании дефлекторов не верно.
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Пусть Х1∈Е(Х). Для того чтобы Х1
* и Х1
*.
** не содержали соответственно
дефлекторов и тотализаторов, необходимо и достаточно, чтобы для любого собственного замкнутого
подпространства Y⊂Х1, его сопряженное Y* было не тотально на Х1, т.е. чтобы Y*
было нетотальным подпространством в Х1
Доказательство следствия 1 основано на результатах автора в [13-15].
Ранее были автором доказаны формулы [16]:
Х1
Х1
*=Z*⊕Y⊥(Х1
**=Z**⊕Z*⊥(Х1
*),
**),
где Y⊥ и Z*⊥ – аннуляторы Y⊂Х1 и Z* соответственно в пространствах Х1
(Y⊥(Х1
*))*=Z*⊥(Х1
**),
(3)
Z*=Y* – сопряженное к Y⊂Х1 пространство, Z**=Wх(Х1), а Х1∈(R) [5,15,16]. На основании
(3) и (4), а также на основании предложения 1 в [16] имеет место равенство:
* и Х1
(4)
**,
(5)
которое равносильно равенству Z*=Y* – сопряженное к Y пространство, где Y⊂Х1 и Y∈(W).
Как было отмечено в [16], пространства (банаховы) Y⊥ и Z*⊥ являются пространствами
всех чистых дефлекторов в Х1
ства (5) следует, что пространство Z*⊥ всех чистых тотализаторов в Х1
женным пространством к пространству Y⊥ всех чистых дефлекторов в Х1
* и всех чистых тотализаторов в Х1
** соответственно. Из равен**
является сопря*.
Если Х1∈(R),
т.е. если Х1 – пространство Розенталя или Х1 не содержит подпространств, изоморфных 1l ,
и, кроме того, Х1 сепарабельно, то сопряженное к Х1 пространство сепарабельно (проблема
С. Банаха впервые правильно была решена автором [9, 16]). Содержание фундаментальной
проблемы С. Банаха следующее [9]: если сепарабельное банахово пространство Х1 имеет несепарабельное
сопряженное Х1
*, то содержит ли Х1 подпространство, изоморфное 1
l ? Мы
дадим здесь также положительное решение этой проблемы, несколько по-другому, чем в [9].
Т е о р е м а 2. Пусть Х1 сепарабельно и Х1∈Е(Х). Для того чтобы Х1 не содержало подпространств,
изоморфных 1l , необходимо и достаточно, чтобы сопряженное к Х1 пространство
Х1
** по формуле
х**=х0-(w- lim n
n
* и х0
*(х0)=х**(х0
*∈Х1
* было сепарабельно.
Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Ранее нами была доказана теорема 11 в [16]:
Пусть Х1∈Е(Х) и Х1∈(R). Тогда для каждого дефлектора х0
венциальный тотализатор х**∈Х1
x ),
где (w- linm nx ) – слабый предел слабой последовательности Коши {xn}⊂Kerх0
топологии σ(Х1, Z*) к х0∈Х1, х0∉Kerх0
(6)
*, сходящейся в
*)=1. Так как Х1∈(R), то по теореме 10
в [16] и теореме Оделя и Розенталя [7] каждый тотализатор будет секвенциальным. По теореме
5 в [15] Z* изометрически изоморфно сопряженному пространству, т.е. выполняется равенство:
Y*=Z*, где Y – некоторое замкнутое подпространство в Х1 со свойством (W). Из сепарабельности
Х1 вытекает, что в Х1 существует счетное всюду плотное в Х1 множество
18
* может быть построен сек
Стр.3