Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 573201)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.
Естественные и технические науки

Естественные и технические науки №2 2012 (180,00 руб.)

0   0
Страниц491
ID197580
АннотацияЖурнал Естественные и технические науки включён в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук (в редакции июля 2007 г.) в соответствии с решением Высшей аттестационной комиссии (Перечень ВАК). Публикации результатов научных исследований соискателей ученой степени кандидата наук могут размещаться в журнале в соответствии с тематикой журнала, т.е. по естественным и техническим наукам. Публикации результатов научных исследований соискателей ученой степени доктора наук могут размещаться в журнале по наукам о Земле; по биологическим наукам; по электронике, измерительной технике, радиотехнике и связи.
Естественные и технические науки .— Москва : Спутник+ .— 2012 .— №2 .— 491 с. : ил. — URL: https://rucont.ru/efd/197580 (дата обращения: 29.11.2021)

Предпросмотр (выдержки из произведения)

А.Ю. Ишлинского Российской академии наук) КАРТИНЫ ПЕРЕНОСА МАРКЕРОВ В СОСТАВНОМ ВИХРЕ Выполнено моделирование процесса переноса примесей в вихревых течениях, контактирующих со свободной поверхностью. <...> Выделены характерные формы переноса маркера в толщу жидкости. <...> Спиральные структуры на поверхности жидкости: а – нефть после катастрофы на “Deep Horizontal” [5], б – касторовое масло на поверхности составного вихря. <...> Целью данной работы является лабораторное моделирование процессов переноса маркирующей примеси на поверхности и в толще жидкости, вовлеченной в вихревое течение, которое создавалось вращающимся диском, установленным на дне цилиндрического контейнера. <...> Картины переноса растворимой примеси в составном вихре Практический интерес представляет изучение структурной устойчивости спиральных рукавов, в которые трансформируется компактное пятно, помещенное на поверхности составного вихря [11], которая может проверяться последовательным нанесением маркера в одну и ту же или разные области течения. <...> Существенно иной характер имеет перенос растворимого маркера в толщу жидкости. <...> 3) можно видеть одновременно две существенно различные структуры: растущие спиральные рукава на поверхности и окрашенные двойные нити, навитые на поверхность вертикального цилиндра в толще жидкости. <...> Перенос несмешивающейся примеси в составном вихре Общая структура течения меняется, если маркер образован жидкостью, которая не смешивается с водой (в данных опытах – рафинированное подсолнечное масло). <...> 4, свидетельствуют, что размеры поверхностной каверны жидкость – воздух и формы контактной поверхности вода – масло существенно зависят от объема легкой жидкости. <...> Поверхность каверны теряет устойчивость, на ней появляются крупномасштабные возмущения, переходящие с контактной поверхности вода – воздух на границу вода – масло. а б в Рис. <...> Характерный коэффициент (аi) для иона натрия составляет 0,0000. <...> Чем меньше количество <...>
Естественные_и_технические_науки_№2_2012.pdf
Естественные и технические науки, № 2, 2012 ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ Физико-математические науки Математика Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Китаев Д.Б., кандидат физикоматематических наук, доцент Российского государственного гуманитарного университета КЛАССИФИКАЦИЯ ОСОБЫХ ТОЧЕК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Изложены результаты по изучению простых особых дифференциальных уравнений, полученных А. Пуанкаре. Проведен сравнительный анализ классификации особых точек у А. Пуанкаре и у Н.Е. Жуковского. Изложены основные результаты по изучению сложных особых точек. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, классификация особых точек, корни характеристического уравнения. CLASSIFICATION OF THE FIRST-ORDER DIFFERENTIAL EQUATION SINGULARITIES The paper presents the results of study of simple singular differential equations derived by H. Poincare. The comparative analysis of classification of singularities by H. Poincare and N.Ye. Zhukovsky has been made. The paper contains basic results of study of composite singularities. Key words: differential equations, classification of singularities, roots of characteristic equation. Одним из важнейших вопросов качественной теории дифференциальных уравнений является изучение их особых точек. Решение этого вопроса мы находим у Пуанкаре в его мемуаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1881–1886 гг.). Однако исторически первая классификация особых точек появилась раньше – в 1876 году и связана она с решением Н.Г. Жуковским одного вопроса из области гидродинамики. В своей магистерской диссертации «Кинематика жидкого тела», исследуя вопрос о линиях тока плоского течения жидкости в окрестности точек, составляющие скорости которой обращаются в нуль, он пришел к задаче о поведении интегральных кривых уравнения dx dy + = + cx dy ad bc ax by () − ≠ 0 (1) в окрестности начала координат. Жуковский писал по этому поводу следующее: «Вообразив некоторое пространство, ограниченное замкнутой поверхностью, внутри которого скорости течения u, v, w непрерывны, однозначны и конечны, увидим, что линии токов, напоминающие такое пространство, не могут пересекаться или соприкасаться, так как 19
Стр.1
Естественные и технические науки, № 2, 2012 для каждой точки косинусы углов касательной к линии тока имеют одно определенное значение. Этого нельзя сказать, когда скорости u, v, w обращается в 0; ∞; 0 0 или становятся многозначны. Будем называть критическими точки, в которых линии тока пересекаются, соприкасаются или имеют бесконечно большую кривизну и разберем свойства таких точек сначала для плоского течения. Относя начало координат в точку, для которой скорости плоского течения u, v, w обращаются в нуль, в бесконечность или становятся неопределенными, отыскиваем предел дроби u v ⎛ чину ⎜ ⎝ X Y ⎞ ⎟ ⎠ , то уравнение линии токов, бесконечно близких от начала координат, получают= ⎛ ся с помощью интегрирования уравнения dx dy ⎜ ⎝ X Y ⎞ ⎟ ⎠ ». [3, с. 179]. Далее он приводит классификацию особых точек уравнений, аналогичную той, которую впоследствии дал Пуанкаре, и исследует поведение интегральных кривых в их окрестности. Жуковский не дает специальные наименования каждому типу особых точек, которых у него насчитывается шесть; случай, который по терминологии Пуанкаре носит название узла, распадается у него на три, получивших в дальнейшем наименование простого, вырожденного и дикритического узлов. Исследование особых точек подчинено у него изучаемым вопросам гидродинамики и не получило самостоятельного развития. Поэтому оно долгое время оставалось незамеченным, вплоть до 1924 г., когда на него обратил внимание Д.М. Синцов [6]. Следующая по времени классификация особых точек изложена в упоминаемом выше мемуаре Пуанкаре, который исследовал поведение интегральных кривых уравнения X dx dy = 0 Y в окрестности начала координат, где Х и Y – полинома относительно х и у: ( Y b b x ( − + b2 y − +) ... X a a x − +b y ) = + 1 = + 1 0 b a 1 1 − b2 − = a2 ) 1( − +) ... ( Он классифицирует особые точки по характеру корней уравнения: 0 (2) (3) (4) (5) Уравнение имеет два действительных различных корня одного знака. В этом случае через точку проходит бесконечное множество интегральных кривых. Такая особая точка называется узлом. Уравнение имеет два действительных корня противоположных знаков. В этом случае через точку проходят две и только две интегральные кривые. Такая особая точка называется седлом. Уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня с нулевой действительной частью. Интегральные кривые в этом случае – спирали, имеющие точку (α, β) асимптотической точкой, вокруг которой они делают бесконечное количество оборотов. Такая точка называется фокусом. 20 при = x 2 + =2 0. Если этот предел имеет конечную велиy ρ φ β β φ α α λ λ
Стр.2
Естественные и технические науки, № 2, 2012 Уравнение имеет две сопряженных, чисто мнимых корня. Интегральными кривыми в окрестности точки (α, β), является семейство замкнутых кривых, окружающих эту точку. Такая точка называется центром. Следует отметить, что Пуанкаре в своем мемуаре исследовал лишь простые особые точки, т.е. тот случай, когда λ1 λ2≠0. Исследование сложных особых точек в этом мемуаре не приводилось. По этому поводу Пуанкаре писал следующее: «Различные особенности, которые могут представить такие особые точки, слишком многочисленны и разнообразны для того, чтобы мы стали их здесь подробно изучать [5, с. 31)]. Изучение этого вопроса впервые было проведено И.О. Бендиксоном в 1901 г. в его мемуаре, опубликованном в «Actа mathematicа» [2] в 1901 г. под тем же названием, что и мемуар Пуанкаре. В этой работе были получены существенные обобщения результатов Пуанкаре по качественному изучению интегральных кривых на плоскости. Существенное место в ней занимает изучение сложных особых точек. Изучая топологическую структуру сложных особых точек в случае равенства нулю одного корня характеристического уравнения, Бендиксон пришел к выводу о существовании особых точек трех типов – седла, узла и седло-узле и дал критерии их различия. Наибольшую сложность, как отмечал автор мемуара, представляет изучение сложной особой точки в случае равенства нулю обоих корней характеристического уравнения. Впервые такая задача была решена в 1955 г. А.Ф. Андреевым, применившим для этой цели прямой геометрический метод исследования – метод Фроммера. При этом автор пришел к выводу о существовании семи типов сложных особых точек: 1) седла, 2) узла, 3) фокуса, 4) центра, 5) седло-узла, 6) вырожденной особой точки (имеющей 2 гиперболических сектора), 7) сложной особой с эллиптической областью (имеющей один эллиптический и один гиперболический сектор) и установил критерии их различения. Позднее, в 1959 году, к аналогичным результатам пришла К.А. Губарь, принимавшая в своих исследованиях метод Бендиксона. Особые точки этих типов были затем подвергнуты различными авторами во главе с Ф. Дюмортье исследованиям на предмет выявления их бифуркаций при малых изменениях параметров исходной системы. ЛИТЕРАТУРА 1. Андреев А.Ф. Исследование поведения интегральных кривых одной системы двух дифференциальных в окрестности особой точки. – Вестник ЛГУ, 1955. 2. Бендиксон И.О. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. УМП, т. 9, 1941. 3. Губарь Н.А. Исследование методом Бендиксона топологической структуры расположения траекторий в окрестности особой точки одной динамической системы.– Изв.вузов. Радиофизика,Т. 2, № 6, 1959. 4. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела. Мат.сб., 1876, т. 8. 5. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.– Л., 1944. 6. Синцов Д.М. Н.Е. Жуковский и классификация особых точек дифференциальных уравнения первого порядка. – Учен. зап. научн.-исслед. кафедр. Укр. Отд. мат., вып. 1, 1924. 21
Стр.3