Естественные и технические науки, № 1, 2011
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
Физико-математические науки
Математика
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Гасымова Н.Ф., аспирант Бакинского
государственного университета (Азербайджан)
ПРИБЛИЖЕННОЕ
РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА ДВУКРАТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
СЖИМАЮЩИХСЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
В работе один класс двумерных нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта
решается методом сжимающих отображений и находится скорость сходимости последовательных
приближений к точному решению.
Ключевые слова: двумерные нелинейные сингулярные интегральные уравнения, приближенное
решение одного класса двукратных нелинейных сингулярных интегральных уравнений, бицилиндрическая
область, оператор суперпозиции, метод сжимающих отображений.
APPROXIMATE SOLUTION OF A CLASS OF DOUBLE NONLINEAR SINGULAR
EQUATIONS BY THE METHOD OF CONTRACTIVE MAPPINQS
In this work a class of second order singulyar integral equations with Hilbert kernel solved by the method
of contractive mappings and found the speed of convergence of approximative sequences to exact solution.
Keywords:
the double nonlinear singular integral equations, approximate solution of the double nonlinear
singular integral equations, the bicylindrical domain, the operator of superposition, the method of contractive
mappings.
§ 1. Некоторые обозначения и вспомогательные факты
Рассмотрим двумерное нелинейное сингулярное интегральное уравнение (НСИУ) вида
()
ϕ=λ ∫∫ ⎣⎦F s t s t ctg ctg dsdt f xy ,
xy
,,,⎡⎤, )
ππ
−π−π
ϕ(
sx t−−y
22
+ ()
,
(0.1)
где λ – положительный действительный параметр, F и f – заданные функции, а ϕ – искомая
функция. Уравнения вида (0.1) встречаются при изучении предельных значений на остове
бицилиндра аналитической в бицилиндрической области функции [1] и в теории сингулярных
интегральных уравнений [2]. В настоящей работе мы будем решать уравнение (0.1) методом
сжимающих отображений.
Через С(Т2) обозначим пространство непрерывных на Т2= [-π, π]× [-π, π] и 2π – периодических
по каждой из переменных функций с нормой
() () (
ffx y
∈
CT
Пусть
Δ
1,0 () ( + ,
,
2 = max 2
xy T
,
h f x y = f x h y)− f x y), Δ0,1
( ,
f x y) = f x y + − f x y
( ,
,
,
, .
)
( )( ),
15
(1.1)
η
η
Стр.1
Естественные и технические науки, № 1, 2011
h f x y = () () ( + ,
Δ
1,1
,
,
f x y − f x h y)− f x y + + f x h y + ).
,
( ,
ωδ = Δ
≤δ
fh f ()
1,1
()
sup
hh CT
fx y
1,0
() ()
,
CT
ωδη = Δhh fx y
f (),
Kf ff f,, ,
с нормой
αβ = ∈ ω δ =Ο δ ω η=Ο η ω δ η=Ο δ ⋅η < α β ≤1 ()
1,1
,
{
C T αβ α
1,1
0,1() ( ) () (
ff
αβ
KCT αβ () δ>00
2
max
,
⎨⎬
δη
⎪⎪,δ η
1,1 =⎪⎪
⎧⎫
ω δω η
1,0
⎪⎪⋅η
⎪⎪
, sup
и доказано, что пространство 1,1
Пусть f C T∈ ( )
2
f x y =
ff , sup fω ()
δ
()
0,1
, sup
η>
()
⎩⎭
K ,α β является банаховым.
δ>
η>
0
0
. Рассмотрим двумерный сингулярный интеграл с ядром Гильберта:
()
%,, .
4π2 ∫∫ ()f s t ctg
1
ππ
−π−π
,
)
sx t−−y
ctg
22
( )(Sf x y = f x y)
~ ,
(
действует из 1,1
В пространстве 1,1
K ,α β в 1,1
K ,α β и ограничен при 0<α, β<1.
K ,α β возьмем шар с центром в нуле радиуса R :
1,1
B RK R
αβ
αβ() = φ∈ φ ≤ .
,, K
{
В работе [5] доказано следующее:
Утверждение 1. Пусть
1,1
fK ,α β∈
где
γ= +α+β
+α +β
()(
11 ,
p
1 ()
p
p)
l =⎪⎪
αβp −γ
max ()(⎧⎫
+α +β ) ()(1
⎨⎬
αβ π
11 4 1+α +β
,
⎪⎪
⎩⎭
()
условиям:
16
pp p pp)
−γ
p
Fx y T R R
,
11 ()
.
Далее нам понадобятся следующие утверждения, доказанные в [10].
Утверждение 2. Пусть функция () []2
1.8
,, :φ ×− →ℜ удовлетворяет следующим
и
αβ
1,1
1,1
,
}
fl f K L
CT ≤⋅f
21,1
,
p ≥ 1. Тогда верно неравенство:
()
γ−γ
αβ
1,1.7
p
()
dsdt
Отметим, что интеграл (1.5) понимается в смысле главного значения по Коши.
Из оценок, полученных в работах [4], [3] следует, что сингулярный оператор (СО)
( )6.1
()
1.5
β)} 0
1,1
α
β
,
1.4
sup
h
h
1
2
≤δ
≤η
1,1
,
12
2
, ωη = Δh () ()
f x y
0,1
sup
0,1
,
≤η
() ()
,
CT
2
.
С помощью этих характеристик в работе [3] введено пространство:
( )2 1,0() ( )
2
)
( + ,
гом η, и смешанной разностью по совокупности переменных с шагом h и η в точке (x,y).
Введем следующие обозначения:
1,0
,
()
1.3
(1.2)
Эти величины называются соответственно частной разностью по x с шагом h, по y с шаη
η
η
Стр.2
Естественные и технические науки, № 1, 2011
′
2) ∃> ∀ ∈ −π π
3)∃> ∀ ∈ −π π
11 2
0,
0,
,
4) ∃ > ∀0,
C3
21 2
1,
,
,
,
1,
2
() (
5) Cx x0, ,
11 1,, 2
6) Cy y0, ,
,,
51 2
11 1 2
1
шар ()1,1
6) и f KR R
Тогда при
∈< .
αβ ′′ )
1,1
,
R
Fx y F x y Fx y F x y C x x α
[ R R]
∃> ∀ ∈ −π π ∀ ϕ ϕ ∈ −
(
11 1 2
41 2
,,ϕ− ϕ− ϕ+ ( 2 2
],
Fx y F x y Fx y F x y C x x y y
αβ
x y x y ∈ −
)
, ,
[
2 , []
( 2 1
1,
,, )
2
Тогда оператор суперпозиции :, ,
B , Rαβ
Fx y F x y Fx y, ,2 1
(
⎣
∃> ∀ ∈ −ππ∀ϕ ϕ ∈ −
(
2 1
1,
,,
2
, ,ϕ ≤ −1 2 1 2
)
[ R R]
,
,,ϕ− ϕ − ϕ+ ϕ ≤ − ϕ −ϕ ;
[
) () () ( 2 2 )
],
,,
,
,,ϕ− ϕ − ϕ+ ϕ ≤ − ϕ −ϕ .
)
) () () (F x y, ,2 2 )
⎡
,
,
F x y F xy xyϕ→ ϕ( ,
Утверждение 3. Пусть функция () []2
() (
λ<⎪⎪
min⎨⎬⋅
⎩⎭
⎧⎫′−
,
1
⎪⎪
CS →
*
гдеCF x y
ϕ ϕ
T x y
,
* ()
,,
=ϕ′
max , , ,
xy
оператор
является сжимающим в шаре B , Rαβ
()( )ϕ=λ ∫∫ ⎣⎦F st st ctg ctg dsdt f x y
2
ππ
−π−π
⎡⎤, )
1, ()1
, ,ϕ(
sx t−−y
22
,
в метрике пространства L2 T .
§ 2. Приближенное решение НСИУ (0.1)
в метрике пространства LT к некоторой функции 0
пространства CT . ()2
Верна следующая
Лемма 2.1. Если последовательность {}
CT к 0
()2
f , то f KR .
0∈ αβ
,
1, ()1
17
fn KR⊂ αβ
,
Из оценки (1.9) следует, что если последовательность функций {}⊂ αβ
2 ( )2
,
1, ()1
f , то она сходится к 0
fn KR сходится
f и в метрике
1, ()1
+ ()
( )
(1.10)
LL KK
RR
RS
1
22
αβ→ αβ
1,1
1,1
,,
C y y β
)⎤
5
1 2 1 2
⎦ действует из шара B , Rαβ
, где радиус R1 однозначно определяется начальными данными.
Fs t T R R
1, ()1
в
,, :ϕ ×− →ℜ удовлетворяет условиям 1) –
4
1
2
1
2
3
−
1) существует частная производная ()
∀ϕ ϕ ∈ −12 [] () ( ,
y ϕ − F x2,, )
ϕ
y
Cx x [] () (
Cy y [] () (
,, ,
F x1,,
, 1,
,ϕ1 −
RR F x y F x y Cϕϕ
′
F x y ϕ − F x y, ,2 ϕ ≤ − y β
,
y ϕ ≤ − x α
)
C x1
2
1
2
C y1
2
,ϕ ≤ ϕ −ϕ ;
;
2 )
0
1 2
;
;
Fx,,ϕ и существует C0 0>
′
такая, что для:
,
(1.9)
сходится в метрике пространства
ππ
Стр.3