Математика

Представлены задачи семестровых контрольных работ по математике за 2011/12 учебный год, проведенных в 8–11 классах лицея № 1580 (при МГТУ им. Н.Э. Баумана). Задачи каждой семестровой работы охватывают все темы школьной программы, пройденные за полугодие, что позволяет объективно оценивать уровень общей математической подготовки школьников в конце каждого семестра. Такое содержание контрольных работ играет важную дидактическую роль, особенно в связи с необходимостью подготовки школьников к успешной сдаче государственной итоговой аттестации (ГИА) и единого государственного экзамена (ЕГЭ).

Посвящено разбору и решению уравнений в целых числах. Рассмотрена связанная с решением уравнений в целых числах тема делимости чисел.

Содержит основы теории конформных отображений и охватывает материал, достаточный для освоения соответствующего раздела курса «Комплексный анализ», который читается студентам факультета ФН на четвертом семестре обучения, и решения задач.

Приведены задачи по курсу «Дискретная математика», относящиеся к теории графов и теории автоматов. Для студентов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Прикладная математика и информатика».

Изложены основные идеи и понятия, нашедшие применение в области компьютерной криптографии. Приведены разные конструкции и методы работы с комбинаторными объектами, большое количество примеров и задач.

Кратко изложен материал по теории пределов числовых последовательностей и пределов функций. Рассмотрены основные понятия, свойства пределов, способы их вычислений. Материал сопровождается решением типовых примеров.

Изложены основы векторного анализа — скалярные и векторные поля на плоскости и в пространстве, операции над этими полями и связи между ними, а также наиболее важные интегральные теоремы теории поля (Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса). Разобраны примеры разной степени сложности, в частности, все задания типового расчета по теории поля. Приведены задачи для самостоятельного решения с ответами и указаниями.

Рассмотрены векторные и конвекторные поля, тензорные поля, производная Ли, ковариантное дифференцирование, связность Леви-Чивита, тензоры кручения и кривизны. Дано строгое изложение аппарата римановой геометрии. Приведено домашнее задание, включающее 24 варианта типовых расчетных заданий.

Рассмотрены основы теории разностных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В учебном пособии приведены теоретические сведения из введения в математический анализ, даны решения задач, предложены задачи для самостоятельного решения. Для студентов 1-го курса, в первую очередь для студентов ГУИМЦ.

Рассмотрены различные методы интегрирования функции одной переменной. Даны методические указания к дополнительной самостоятельной работе студентов по технике интегрирования. Для студентов 1-го курса с ограниченными возможностями по слуху. Рекомендованы кафедрой «Реабилитация инвалидов» факультета ГУИМЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Представлены необходимые теоретические сведения. Приведены примеры решения задач по теории функций комплексного переменного. Даны условия домашнего задания.

Рассмотрены машины Тьюринга, вопросы алгоритмической разрешимости, основные классы сложности, NP-полнота, схемная сложность.

Приведены краткие теоретические сведения по теме «Функции нескольких переменных», разобрано большое число детально решенных типовых примеров, которые предполагают глубокое понимание теоретического материала. Приведены задачи типового расчета.

Рассмотрены алгебраические и комбинаторные свойства различных подмножеств булева куба, нашедшие применение в теории булевых функций, теории сложности, защите информации и теории кодирования. Приведены задачи с подробными решениями и упражнения различной степени сложности, предназначенные как для первоначального, так и для углубленного освоения методов дискретной математики и комбинаторного анализа.

Приведены основные понятия и определения по теме «Линейный оператор». Представлен необходимый справочный материал. Рассмотрены решения типовых задач.

Методические указания содержат краткий теоретический материал, необходимый для выполнения домашнего задания по курсу «Дискретная математика». Рассмотрены примеры решения задач, приведены задачи для самостоятельной работы.

Изложены основы теории по тригонометрическим рядам Фурье, включая сходимость рядов Фурье в среднем квадратичном, теорема Дирихле о поточечной сходимости, приближение функций тригонометрическими полиномами. Рассмотрены стандартные примеры и примеры повышенной сложности. Приведены задачи для самостоятельного решения. Даны условия задач типового расчета.

Представлены теоретические сведения об операционном исчислении и рассмотрены примеры решения задач из домашнего задания по темам: нахождение изображений и оригиналов, решение интегральных уравнений типа свертки, решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Приведены 25 вариантов условий домашнего задания. Для решения некоторых задач требуется применение систем компьютерной математики, например системы Maple.

Рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка. Для студентов с ограниченными возможностями по слуху. Рекомендовано кафедрой «Реабилитация инвалидов» факультета ГУИМЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Представлены необходимые теоретические сведения и методические указания к решению квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Приведены соответствующие примеры, даны условия типового расчета.

Кратко изложены основные определения и теоремы курса теории вероятностей. Подробно рассмотрены многомерные распределения, в том числе нормальный закон и его свойства. Изложены примеры на вычисление плотности вероятностей функции от случайной величины (случайного вектора), включая нахождение композиции законов распределения. Приведено 30 вариантов типового расчета.

Рассмотрены два раздела общего курса математики для технических университетов: «Теория функций комплексного переменного» и «Операционное исчисление», а также теория числовых рядов, теория поля, ряды Фурье и преобразование Фурье. Приведены основные понятия и теоремы, доказательства теорем, примеры.

Приведены примеры решения задач типового расчета по базовому курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Рассмотрены задачи, посвященные определению вероятностей событий в классической схеме, а также геометрических вероятностей. Даны решения задач на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса. Исследованы методы анализа распределений непрерывных и дискретных случайных величин, а также преобразований этих распределений при соответствующих изменениях случайных величин. Часть задач посвящена определению различных характеристик случайных векторов и распределению функций от компонент этих векторов.

Рассмотрены вопросы применения функций чувствительности к различным задачам, возникающим в инженерной практике при проектировании технических систем, описываемых уравнениями в частных производных.

Приведены основные понятия и факты, относящиеся к языку высказываний, языку предикатов, теории aлгоритмов, теории нечетких миожеств и нечеткой логике. Наряду с традиционными разделами математической логики изложен метод резолюций, полезный для приложений. Рассмотрены типовые задачи.

Рассмотрены краевые задачи для аналитических в полуплоскости функций, и показано, как с их помощью находят аналитические решения некоторых задач математической физики: интегральных уравнений на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов; краевых задач для уравнений с частными производными со смешанными краевыми условиями на действительной оси; интегродифференциального уравнения переноса. Для выполнения сложных вычислений и построения графиков использована программа Марlе.

Рассмотрены методы решения задач на экстремум (локальный, условный) функции многих переменных и нахождения наибольших и наименьших значений таких функций. В каждом разделе приведены краткие теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач.

Изложены требования к построению математических моделей. Рассмотрены свойства математических моделей, метод наименьших квадратов для однократных и повторных наблюдений, а также методика обработки данных эксперимента.

Методические указания содержат краткий теоретический материал, необходимый для выполнения домашнего задания по теме «Ряды Фурье. Преобразование Фурье». Подробно разобраны примеры решения задач, а также приведены задачи для самостоятельной работы и условия домашнего задания.

Представлены необходимые теоретические сведения и методические указания к решению задач по вариационному исчислению. Приведены соответствующие примеры, даны условия задач типового расчета.

Рассмотрены численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса, LU-разложение, метод квадратного корня, метод прогонки), систем нелинейных уравнений (метод простых итераций, метод Ньютона) и методы приближения функций (интерполяционные многочлены, интерполяция сплайнами, метод наименьших квадратов). Приведены варианты индивидуальных заданий к лабораторным работам.

Приведены сведения о применении современных технологий, в первую очередь географических информационных систем (ГИС) и систем виртуального окружения, для пространственно-временного моделирования объекта. Рассмотрены вопросы, связанные с анализом данных дистанционного зондирования, а также стереовидеосъемки.

Рассмотрены комбинаторные вычисления, их основные операционные объекты: сочетания, перестановки, размещения и разбиения элементов конечных множеств и натуральных чисел.

Приведены основные теоретические сведения из некоторых разделов функционального анализа. Рассмотрена теория обобщенных функций, представлены свойства интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Показано применение обобщенных функций и интегральных преобразований для решения различных задач математической физики.

Рассмотрены важные построения начертательной геометрии как части и основы курса «Инженерная графика». Основное внимание уделено определению геометрических параметров проекций линии пересечения на общие плоскости симметрии пересекающихся по­верхностей.

Методические указания содержат краткий теоретический материал, необходимый для выполнения домашнего задания по курсу «Уравнения математической физики» Подробно разобраны примеры решения задач, а также приведены задачи для самостоятельной работы и условия домашнего задания.

Рассмотрено решение уравнений Лапласа и Пуассона методом суперпозиции. Построение частных решений, являющихся основой метода суперпозиции, выполняется с помощью метода разделения переменных. Решения проводятся для областей, обладающих определенной симметрией (круг, кольцо, прямоугольник, цилиндр, шар, шаровой слой).

Изложены методы решения задач по основам теории метрических пространств, компактных множеств, нормированных и гильбертовых пространств, линейных функционалов и операторов. Рассмотрены типовые задачи с необходимыми пояснениями по выполнению.

Рассмотрены теоретические, вычислительные и прикладные аспекты методов конечномерной безусловной оптимизации. Много внимания уделено описанию алгоритмов численного решения задач безусловной минимизации дифференцируемых функций нескольких переменных. Приведены примеры решения конкретных задач, дана наглядная интерпретация полученных результатов, способствующая лучшему усвоению применяемых методов.

В методических указаниях изложены подходы к решению одной из задач математической статистики — задачи построения линейной регрессионной модели по экспериментальным данным.

Рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Даны краткие теоретические сведения, приведены примеры решения уравнений, а также задачи для самостоятельного решения.

Методические указания содержат рекомендации по использованию систем аналитических вычислений для анализа сложных динамических систем как при классической постановке вопроса об устойчивости и анализе особых точек нелинейных систем, так и при современной постановке задачи об определении условий возникновения в системах хаотических состояний. Отдельно рассмотрен вопрос о построении притягивающих множеств особых точек нелинейных систем, являющихся аттракторами. Сформулированы задания к лабораторным работам.

Приведены определения вероятности (классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое), примеры вычисления вероятности, а также теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности, формула Байеса. Рассмотрены основные распределения случайной величины и доказательства их свойств. Исследованы многомерные случайные величины, их характеристики, доказаны свойства функции распределения, плотности распределения, математического ожидания и ковариации. Приведены доказательства неравенств Чебышева и законов больших чисел. Представлена без доказательства предельная теорема в форме теоремы Ляпунова. Выведена интегральная теорема Муавра—Лапласа.

Изложены основные понятия и методы статистического анализа многомерных результатов технических экспериментов. Приведены теоретические сведения о свойствах многомерных гауссовских распределений.

Даны краткие теоретические сведения, примеры, задачи для самостоятельной работы и условия типового расчета по теме «Числовые ряды».

Рассмотрено волновое уравнение и некоторые его частные решения в виде плоской, сферической и цилиндрической монохроматических волн. Приведены решения уравнений Лапласа и Пуассона в классе обобщенных функций с использованием функции Грина – функции источника.

Представлены справочный теоретический материал, решенные задачи и примеры, условия вариантов типового расчета по интегральным преобразованиям и операционному исчислению. Типовой расчет содержит задачи по темам: нахождение изображений и оригиналов, задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пособие посвящено одному из важнейших этапов конструирования плазменных установок различного назначения – математическому моделированию комплекса процессов, протекающих как в самой высокотемпературной среде – плазме, так и в элементах конструкции, обеспечивающих работоспособность технических устройств. Рассмотрены методы аналитического и численного решения систем уравнений различных типов, приведены решения ряда практически важных задач, которые встречаются студентам при выполнении домашних заданий по основным дисциплинам специальностей 140403 и 140505, курсовом и дипломном проектировании. Пособие основано на материалах лекций, семинарских и лабораторных занятий по методам математического моделирования процессов в плазменных установках, проводимых автором в течение ряда лет в МГТУ им. Н.Э. Баумана

Рассмотрены неопределенный и определенный интегралы, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла, а также основные уравнения первого порядка, способы снижения порядка дифференциальных уравнений, линейные уравнения второго и высшего порядков с постоянными и переменными коэффициентами. Приведены основные теоремы линейной теории, примеры решения уравнений с постоянными коэффициентами на метод подбора формы частного решения и метод вариации. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений, основы теории устойчивости, а также поведение траекторий систем в окрестности точек покоя на примерах систем уравнений с двумя и тремя переменными. Изложены приближенные методы решения систем дифференциальных уравнений.