Б
.
.
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.2
УДК 377.167.1:514+514(075.32)
ББК 22.15я723
М34
Серия «Учебник СПО» основана в 2023 году.
Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев,
Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва
Издание выходит в pdf-формате.
Условные обозначения:
25* — пункт, необязательный для изучения на базовом уровне
20 — задача, не являющаяся обязательной на базовом уровне
( — начало материала, необязательного для изучения
на базовом уровне
7 — окончание материала, необязательного для изучения
на базовом уровне
М34
Математика. Геометрия : базовый уровень : учебное пособие
для образовательных организаций, реализующих образовательные
программы среднего профессионального образования
: издание в pdf-формате / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
С. Б. Кадомцев [и др.]. — 2-е изд., стер. — Москва :
Просвещение, 2025. — 303, [1] с. : ил. — (Серия «Учебник
СПО»).
Б
ISBN 978-5-09-127108-9 (электр. изд.). — Текст : электронный.
Данное
учебное пособие разработано в соответствии с требованиями Федерального
государственного образовательного стандарта среднего общего
образования в редакции Приказа Министерства просвещения Российской
Федерации № 732 от 12.08.2022 г. (в ред. Приказа Минпросвещения России
от 27.12.2023 г. № 1028), требованиями Федеральной образовательной программы
среднего общего образования, утверждённой Приказом Министерства
просвещения Российской Федерации № 371 от 18.05.2023 г. (в ред.
Приказа Минпросвещения России от 19.03.2024 г. № 171), и предназначено
для реализации образовательных программ среднего профессионального образования,
реализуемых на базе основного общего образования или интегрированных
с образовательными программами основного общего и среднего
общего образования, при освоении учебных предметов, курсов, дисциплин
(модулей) основного общего образования и (или) среднего общего
образования.
ISBN 978-5-09-121360-7 (печ. изд.).
Учебное пособие позволяет обеспечить вариативность обучения не только
согласно системе условных обозначений, но и благодаря хорошо подобранной
системе задач, включающей типовые задачи к каждому параграфу,
дополнительные задачи к главе и задачи повышенной сложности.
УДК 377.167.1:514+514(075.32)
ББК 22.15я723
ISBN 978-5-09-127108-9 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-121360-7 (печ. изд.)
.
© АО «Издательство «Просвещение», 2024
.
© Художественное оформление.
АО «Издательство «Просвещение», 2024
Все права защищены
12+
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.3
Оглавление
Введение
1. Предмет стереометрии .................................... 3
2. Аксиомы стереометрии .................................... 4
3. Некоторые следствия из аксиом ............................ 6
Вопросы и задачи .......................................... 7
Глава I
Параллельность прямых и плоскостей
§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости .................. 9
4. Параллельные прямые в пространстве ....................... —
5. Параллельность трёх прямых .............................. 10
6. Параллельность прямой и плоскости ........................ 11
Вопросы и задачи .......................................... 13
Б
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Угол между двумя прямыми ................................. 15
7. Скрещивающиеся прямые ................................. —
8. Углы с сонаправленными сторонами ........................ 17
9. Угол между прямыми ..................................... 18
Вопросы и задачи .......................................... 19
§ 3. Параллельность плоскостей .................................. 21
10. Параллельные плоскости ................................. —
11. Свойства параллельных плоскостей ........................ 22
Вопросы и задачи .......................................... 23
§ 4. Тетраэдр и параллелепипед .................................. 25
12. Тетраэдр ............................................... —
13. Параллелепипед ........................................ 26
14. Задачи на построение сечений ............................ 28
Задачи .................................................... 31
Вопросы к главе I .......................................... 33
Дополнительные задачи ..................................... 34
.
.
298 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.299
Глава II
Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости ...................... 36
15. Перпендикулярные прямые в пространстве ................. —
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости ....... —
17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости ........... 38
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости ........... 40
Задачи .................................................... 41
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой
и плоскостью .............................................. 43
19. Расстояние от точки до плоскости ......................... —
20. Теорема о трёх перпендикулярах .......................... 44
21. Угол между прямой и плоскостью ......................... 45
Задачи .................................................... 47
§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей .............. 50
22. Двугранный угол ........................................ —
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей .............. 52
24. Прямоугольный параллелепипед .......................... 53
25*. Трёхгранный угол ...................................... 55
26*. Многогранный угол ..................................... 56
Задачи .................................................... 57
Вопросы к главе II ......................................... 60
Дополнительные задачи ..................................... 61
Б
Глава III
Многогранники
§ 1. Понятие многогранника. Призма ............................. 63
27. Понятие многогранника .................................. —
28*. Геометрическое тело .................................... 64
29*. Теорема Эйлера ........................................ 65
30. Призма ................................................ 67
31. Пространственная теорема Пифагора ....................... 68
Задачи .................................................... 70
§ 2. Пирамида ................................................. 72
32. Пирамида .............................................. —
33. Правильная пирамида ................................... 73
34. Усечённая пирамида ..................................... 74
35. Понятие подобия пространственных фигур .................. 75
Задачи .................................................... 77
.
.
299 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.300
§ 3. Правильные многогранники .................................. 80
36. Симметрия в пространстве ................................ —
37. Понятие правильного многогранника ...................... 82
38. Элементы симметрии правильных многогранников ........... 84
Практические задания ...................................... 85
Вопросы и задачи .......................................... 86
§ 4. Понятие об объёме многогранника ............................ —
39. Понятие объёма ......................................... —
40. Объём прямоугольного параллелепипеда .................... 88
41. Объём прямой призмы ................................... 91
42. Объём наклонной призмы ................................ 92
43. Объём пирамиды ........................................ 94
Вопросы и задачи .......................................... —
Вопросы к главе III ......................................... 97
Дополнительные задачи ..................................... 98
Глава IV
Цилиндр, конус и шар
§ 1. Цилиндр .................................................. 104
44. Понятие цилиндра ...................................... —
45. Площадь поверхности цилиндра ........................... 106
Задачи .................................................... 107
Б
§ 2. Конус ..................................................... 109
46. Понятие конуса ......................................... —
47. Площадь поверхности конуса ............................. 110
48. Усечённый конус ........................................ 111
Задачи .................................................... 113
§ 3. Сфера ..................................................... 115
49. Сфера и шар ........................................... —
50. Взаимное расположение сферы и плоскости ................. 116
51. Касательная плоскость к сфере ............................ 117
52. Площадь сферы ......................................... 118
53*. Взаимное расположение сферы и прямой .................. 119
54*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность ........... 120
55*. Сфера, вписанная в коническую поверхность ............... 121
56*. Сечения цилиндрической поверхности ..................... 122
57*. Сечения конической поверхности ......................... 123
Задачи .................................................... 125
Вопросы к главе IV ......................................... 126
Дополнительные задачи ..................................... 127
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар ........ 129
.
.
300 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.301
Глава V
Векторы в пространстве
§ 1. Понятие вектора в пространстве .............................. 131
58. Понятие вектора ........................................ —
59. Равенство векторов ...................................... 132
Вопросы и задачи .......................................... 133
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число . . . 134
60. Сложение и вычитание векторов .......................... —
61. Сумма нескольких векторов .............................. 135
62. Умножение вектора на число ............................. 136
Задачи .................................................... 137
§ 3. Компланарные векторы ..................................... 139
63. Компланарные векторы .................................. —
64. Правило параллелепипеда ................................ 140
65. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам ...... 141
Вопросы и задачи .......................................... 142
Вопросы к главе V .......................................... 145
Дополнительные задачи ..................................... 146
Глава VI
Б
Метод координат в пространстве. Движения
§ 1. Координаты точки и координаты вектора ...................... 149
66. Прямоугольная система координат в пространстве ........... —
67. Координаты вектора ..................................... 150
68. Связь между координатами векторов и координатами точек . . . 152
69. Простейшие задачи в координатах ......................... 153
70. Уравнение сферы ....................................... 155
Вопросы и задачи .......................................... —
§ 2. Скалярное произведение векторов ............................. 160
71. Угол между векторами ................................... —
72. Скалярное произведение векторов ......................... —
73. Вычисление углов между прямыми и плоскостями ........... 162
74*. Уравнение плоскости ................................... 163
Задачи .................................................... 165
§ 3. Движения ................................................. 169
75. Центральная симметрия .................................. —
76. Осевая симметрия ....................................... 170
77. Зеркальная симметрия ................................... 171
78. Параллельный перенос ................................... —
79*. Преобразование подобия ................................. 172
Задачи .................................................... 174
.
.
301 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.302
Вопросы к главе VI ......................................... 175
Дополнительные задачи ..................................... 176
Задачи для повторения ...................................... 178
Глава VII
Объёмы тел
§ 1. Объёмы цилиндра наклонной призмы, пирамиды и конуса ....... 179
80. Объём цилиндра ........................................ —
81. Вычисление объёмов тел с помощью определённого
интеграла ................................................. 180
82. Объём наклонной призмы ................................ 182
83. Объём пирамиды ........................................ 183
84. Объём конуса ........................................... 185
Задачи .................................................... 186
§ 2. Объём шара и площадь сферы ................................ 188
85. Объём шара ............................................ —
86. Объёмы шарового сегмента, шарового слоя
и шарового сектора ......................................... 189
87*. Площадь сферы ........................................ 190
Вопросы и задачи .......................................... 191
Вопросы к главе VII ........................................ 192
Дополнительные задачи ..................................... 193
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар ........ —
Задачи повышенной трудности ............................... 194
Б
Глава VIII*
Некоторые сведения из планиметрии
§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью ..................... 199
88. Угол между касательной и хордой ......................... —
89. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью ......... 200
90. Углы с вершинами внутри и вне круга ..................... 201
91. Вписанный четырёхугольник ............................. 203
92. Описанный четырёхугольник ............................. 205
Задачи .................................................... 206
§ 2. Решение треугольников ..................................... 207
93. Теорема о медиане ...................................... —
94. Теорема о биссектрисе треугольника ....................... 209
95. Формулы площади треугольника .......................... 211
96. Формула Герона ........................................ 212
97. Задача Эйлера .......................................... 213
Задачи .................................................... 217
.
.
302 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.303
§ 3. Теоремы Менелая и Чевы .................................... 220
98. Теорема Менелая ........................................ —
99. Теорема Чевы .......................................... 222
Задачи .................................................... 224
§ 4. Эллипс, гипербола и парабола ................................ 226
100. Эллипс ............................................... —
101. Гипербола ............................................. 230
102. Парабола ............................................. 233
Задачи .................................................... 235
Приложения
1. Изображение пространственных фигур .......................... 236
1. Параллельная проекция фигуры ............................ —
2. Изображение фигуры ..................................... 237
3. Изображение плоских фигур ............................... 238
4. Изображение пространственных фигур ....................... 240
2. Об аксиомах геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
3. Дополнительные материалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
1. Задачи для итогового повторения курса геометрии ............ —
2. Задачи с практическим содержанием ........................ 263
3. Исследовательские задачи ................................. 265
4. Задачи профессионально-ориентированного содержания ........ 267
5. Темы рефератов и докладов. Список литературы .............. 270
6. Справочные материалы ................................... 271
Б
Ответы и указания ............................................. 276
Предметный указатель .......................................... 293
.
.
303 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Стр.304