Методы высшей математики. Для технических специальностей по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей. В 2 ч. Ч. 1 (221,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Содержание УДК 517/519(075.8) ББК 22.11я73 Ч-46 Печатается по решению кафедры физико-математических основ инженерного образования Института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета (протокол № 11 от 17 июня 2024 г.) Рецензенты: профессор, заведующий отделом ФГБУ Высокогорного геофизического института, доктор физико-математических наук Б. А. Ашабоков доцент кафедры физико-математических основ инженерного образования Института компьютерных технологий и информационной безопасности Южного федерального университета, кандидат технических наук И. А. Бугаева Черепанцев, А. С. Ч-46 Методы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей : учебное пособие : в 2 ч. / А. С.Черепанцев, А. Ю. Раткина ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2024. ISBN 978-5-9275-4665-7 Часть 1. − 147 с. ISBN 978-5-9275-4666-4 (Ч. 1) Учебное пособие "Методы высшей математики. Часть 1 " представляет собой систематизированное изложения основных понятий алгебры и геометрии, изучаемых в курсе "Высшая математика" в соответствии с учебным планом образовательных направлений "Самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей" в ИРТСУ ЮФУ. Пособие направлено на воспитание у слушателей понимания языка математики при формулировке математических понятий и доказательств основных утверждений. УДК 517/519(075.8) ББК 22.11я73 ISBN 978-5-9275-4666-4 (Ч. 1) ISBN 978-5-9275-4665-7 © Южный федеральный университет, 2024 © Черепанцев А.С., Раткина А. Ю., 2024 © Оформление. Макет. Издательство Южного федерального университета, 2024 2

Стр.3

Содержание СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………. ЛЕКЦИЯ 37 ………………………………………………………………. 37.1. Понятие функции нескольких переменных (ФНП) ……………. 6 8 8 ЛЕКЦИЯ 38 ………………………………………………………………. 15 38.1. Непрерывность ФНП ……………………………………………... 15 38.2. Частные производные ФНП ……………………………………... 16 38.3. Дифференциал функции нескольких переменных ……………... 20 38.4. Дифференцирование сложной функции ………………………... 20 ЛЕКЦИЯ 39 ………………………………………………………………. 22 39.1. Инвариантность формы первого дифференциала ФНП ……….. 22 39.2. Производная по направлению ФНП. Градиент ………………… 23 39.3. Частные производные высших порядков и дифференциалы высших порядков ФНП ………………………………………………… 25 39.4. Дифференциалы высших порядков ФНП ………………………. 28 ЛЕКЦИЯ 40 ………………………………………………………………. 30 40.1. Дифференциалы высших порядков ФНП (продолжение) ……... 30 40.2. Формула Тейлора для ФНП ……………………………………… 32 40.3. Локальный экстремум ФНП ……………………………………... 34 40.4. Достаточные условия локального экстремума ФНП …………... 36 ЛЕКЦИЯ 41 ………………………………………………………………. 38 41.1. Достаточные условия локального экстремума (продолжение) … 38 41.2. Понятие неявной функции ……………………………………….. 42 41.3. Существование и дифференцируемость неявной функции …… 44 ЛЕКЦИЯ 42 ………………………………………………………………. 45 42.1. Вычисление ЧПР неявно заданной функции …………………… 45 42.2. Условный экстремум ……………………………………………... 47 42.3. Метод неопределенных множителей Лагранжа ………………... 50 ЛЕКЦИЯ 43 ………………………………………………………………. 52 43.1. Двойные и n-кратные интегралы (ДИ) ………………………….. 52 3

Стр.4

Содержание 43.2. Условия существования ДИ на прямоугольнике ………………. 54 43.3. Существование ДИ для произвольной области ………………… 56 43.4. Основные свойства ДИ …………………………………………... 58 43.5. Сведение ДИ к повторному однократному для прямоугольника 59 ЛЕКЦИЯ 44 ………………………………………………………………. 61 44.1. ДИ для произвольной области …………………………………... 61 44.2. Тройные интегралы и n-кратные интегралы ……………………. 62 44.3. Замена переменных в n-кратном интеграле …………………….. 64 44.4. Элемент объема в сферической и цилиндрической системе координат ………………………………………………………………….. 65 ЛЕКЦИЯ 45 ………………………………………………………………. 68 45.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра …………….. 68 45.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра …………... 72 ЛЕКЦИЯ 46 ………………………………………………………………. 76 46.1. Криволинейный интеграл первого рода ………………………… 76 46.2. Криволинейный интеграл второго рода ………………………… 78 46.3. Формула Грина …………………………………………………… 81 ЛЕКЦИЯ 47 ………………………………………………………………. 84 47.1. Понятие поверхности …………………………………………….. 84 47.2. Первая квадратичная форма поверхности ……………………… 88 47.3. Площадь поверхности ……………………………………………. 90 ЛЕКЦИЯ 48 ………………………………………………………………. 93 48.1. Ориентация поверхности ………………………………………… 93 48.2. Поверхностные интегралы (ПИ) ………………………………… 95 48.3. Представления ПИ второго рода с помощью двойного интеграла ……………………………………………………………………... 98 ЛЕКЦИЯ 49 ………………………………………………………………. 100 49.1. Скалярные поля и векторные поля ……………………………… 100 49.2. Повторные операции теории поля ………………………………. 104 49.3. Формула Остроградского – Гаусса ……………………………… 105 ЛЕКЦИЯ 50 ………………………………………………………………. 108 50.1. Геометрический смысл дивергенции ……………………………. 108 4

Стр.5

Содержание 50.2. Формула Стокса …………………………………………………... 109 50.3. Геометрическое определение вихря …………………………….. 112 50.4. Соленоидальные векторные поля ……………………………….. 113 ЛЕКЦИЯ 51 ………………………………………………………………. 115 51.1. Потенциальные векторные поля ………………………………… 115 ЛЕКЦИЯ 52 ………………………………………………………………. 121 52.1. Функциональные пространства ………………………………….. 121 52.2. Нормированное пространство …………………………………… 123 52.3. Гильбертовы пространства ………………………………………. 124 52.4. Ряды Фурье ………………………………………………………... 125 ЛЕКЦИЯ 53 ………………………………………………………………. 128 53.1. Ряд Фурье (продолжение) ………………………………………... 128 53.2. Тригонометрический ряд Фурье ………………………………… 130 53.3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье ………………………. 132 ЛЕКЦИЯ 54 ………………………………………………………………. 136 54.1. Свойства преобразования Фурье ………………………………... 136 54.2. Приложения преобразования Фурье …………………………….. 140 ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………... 144 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………. 146 5

Стр.6