Автоматизация решения задач нелинейной теории упругости (312,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

УДК 519.6:539.3(075.8) ББК 22.251.1 я73 К27 Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета (протокол № 6 от 21 июня 2024 г.) Печатается по решению кафедры теории упругости Рецензенты: заведующий кафедрой «Информационные технологии» Донского государственного технического университета, доктор технических наук, профессор Б. В. Соболь; заведующий кафедрой вычислительной математики и математической физики Южного федерального университета, доктор физико-математических наук, профессор М. Ю. Жуков Карякин, М. И. К27 Автоматизация решения задач нелинейной теории упругости : учебное пособие / М. И. Карякин ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2024. – 208 с. ISBN 978-5-9275-4741-8 В учебном пособии описаны возможности, представляемые современными средствами компьютерной алгебры для автоматизации численного анализа краевых задач нелинейной теории упругости на основе полуобратного метода. Приведены примеры кода для такой автоматизации в рамках системы компьютерной алгебры Maple, а также с использованием пакета SymPy для языка Python. Показано, как системы аналитических вычислений могут ускорить организацию конечно-элементных расчетов поведения упругих тел при больших деформациях. Пособие предназначено для студентов и аспирантов направлений подготовки, связанных с прикладной математикой, механикой и математическим моделированием. ISBN 978-5-9275-4741-8 УДК 519.6:539.3(075.8) ББК 22.251.1 я73 © Южный федеральный университет, 2024 © Карякин М. И., 2024

Стр.3

Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Краткое введение в нелинейную теорию упругости . . . 12 1.1 Основные понятия механики сплошной среды . . . . . . . 12 1.2 Градиент деформации. Меры и тензоры деформации . . . 15 1.3 Силы и напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Определяющие соотношения нелинейной теории упругости 25 1.5 Употребительные модели упругих материалов . . . . . . . 32 1.6 Полная система уравнений нелинейной теории упругости . 43 1.7 Задания и упражнения для самостоятельной и проектной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Полуобратный метод нелинейной теории упругости и его автоматизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1 Общее представление о полуобратном методе . . . . . . . . 53 2.2 Дифференциальные операции в криволинейных координатах и их компьютерная реализация . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Основные формулы и определения . . . . . . . . . . 56 2.2.2 Реализация вычисления дифференциальных операторов в среде Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.3 Реализация дифференциальных операторов с использованием пакета SymPy . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3 Задачи и упражнения для самостоятельной работы . . . . 89 3 Редуцированные краевые задачи нелинейной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Пример использования полуобратного метода . . . . . . . . 97 3

Стр.4

3.1.1 Дисклинация в цилиндре из материала Блейтца и Ко. Аналитическое решение . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.2 Генерирование краевой задачи в Maple . . . . . . . 107 3.1.3 Генерирование краевой задачи с использованием пакета sympy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2 Численное решение нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . 120 3.2.1 Численный анализ дифференциальных уравнений средствами Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2.2 Поля напряжений, создаваемых клиновой дисклинацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.2.3 Численное решения нелинейных краевых задач с использованием SciPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.2.4 О влиянии клиновой дисклинации на изменение длины цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.3 Задания для самостоятельной и проектной работы . . . . . 164 4 Конечно-элементный анализ задач нелинейной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.1 Численный анализ нелинейных задач в пакете FlexPDE . . 177 4.2 Задачи для самостоятельной и проектной работы . . . . . 201 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4

Стр.5