Теория вероятностей и математическая статистика (2100,00 руб.)

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

УДК 519.2(075.8) ББК 22.17я7 К60 Рукопись подготовлена в рамках грантового проекта НИУ ВШЭ по изданию авторских учебников доктор физико-математических наук, профессор факультета экономических наук Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» А. С. Шведов; Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Ю. С. Хохлов К60 Колданов, Александр Петрович. Теория вероятностей и математическая статистика / А. П. Колданов, П. А. Колданов ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 249 с. — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2024. — (Учебники Высшей школы экономики). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный. ISBN 978-5-7598-2829-7 В учебнике изложены основные разделы теории вероятностей и математической статистики, составляющие базовый курс этого предмета. Особенность учебника заключается в равномерном распределении материала теории вероятностей и математической статистики. Сделан акцент на построении и анализе вероятностных моделей. При изложении математической статистики уделено внимание свойствам процедур статистического вывода. Излагается современный метод построения текстов, основанный на р-значениях. Выделен круг задач, для которых возможно построение оптимальных процедур статистического анализа. Все основные понятия и результаты проиллюстрированы подробно рассмотренными примерами. В конце каждой главы приведены задачи для самостоятельного решения. Для студентов вузов и всех, кто хочет овладеть методами теории вероятностей и математической статистики. УДК 519.2(075.8) ББК 22.17я7 Электронное издание на основе печатного издания: Теория вероятностей и математическая статистика / А. П. Колданов, П. А. Колданов ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2023. — 245 с. — (Учебники Высшей школы экономики). — ISBN 978-5-7598-2544-9. — Текст : непосредственный. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации. ISBN 978-5-7598-2829-7 © Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», 2023

Стр.5

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . ........................................................................................... 9 Введение . ................................................................................................. 11 Глава 1. Случайные события. Вероятность . ......................................... 14 1.1. Вероятностное пространство . ....................................................... 14 1.1.1. Пространство элементарных исходов и случайные события 14 1.1.2. Операции над событиями . ................................................... 16 1.1.3. Алгебра. σ-алгебра . ............................................................. 17 1.1.4. Аксиоматика теории вероятностей . ..................................... 19 1.2. Способы задания вероятности . ..................................................... 20 1.2.1. Классический способ задания вероятности . ....................... 20 1.2.2. Дискретное вероятностное пространство . ........................... 23 1.2.3. Геометрический способ задания вероятности. ..................... 25 1.2.4. Абсолютно непрерывное вероятностное пространство. ....... 27 1.2.5. Частота и вероятность. ......................................................... 28 1.3. Простейшие формулы теории вероятностей. ................................. 29 1.3.1. Простейшие следствия изаксиом . ....................................... 29 1.3.2. Теорема сложения . ............................................................... 30 1.3.3. Условная вероятность и ее свойства . ................................... 32 1.3.4. Теорема умножения . ............................................................. 34 1.3.5. Формула полной вероятности и формула Байеса. ............... 35 1.4. Независимость случайных событий . ............................................. 37 1.4.1. Независимые события и их свойства . ................................. 37 1.4.2. Типы связи между случайными событиями . ....................... 39 1.4.3. Независимость в совокупности . ........................................... 40 1.4.4. Биномиальное распределение . ............................................. 41 1.4.5. Схема Бернулли . ................................................................... 42 1.5. Задачи к главе 1 . ........................................................................... 44 Глава 2. Случайные величины. Распределения . ................................... 47 2.1. Случайные величины . ................................................................... 47 2.1.1. Определение случайной величины на дискретном вероятностном пространстве . ............................................... 47 2.1.2. Типичные дискретные случайные величины . ..................... 48 2.1.3. Определение случайной величины на произвольном вероятностном пространстве . ............................................... 51 2.2. Функция распределения . ............................................................... 54 2.2.1. Свойства функции распределения . ..................................... 54 2.2.2. Разложение функции распределения и типы случайных величин . ............................................................. 57 5

Стр.6

Оглавление 2.3. Дискретные случайные величины . ............................................... 59 2.4. Непрерывные случайные величины . ............................................. 60 2.4.1. Свойства плотности распределения . ................................... 60 2.4.2. Типичные непрерывные случайные величины . ................... 61 2.4.3. Вывод распределения случайного времени работы сложной системы безучета эффекта усталости . ................. 62 2.5. Многомерные распределения . ....................................................... 65 2.5.1. Свойства многомерной функции распределения . ............... 66 2.5.2. Типичные случайные векторы. ............................................. 69 2.6. Типы связи случайных величин . ................................................... 71 2.6.1.Маргинальное распределение . ............................................. 72 2.6.2. Независимость случайных величин . ................................... 74 2.6.3. Стохастическая связь . ......................................................... 75 2.6.4. Функции случайной величины . ........................................... 78 2.7. Функции случайного вектора. ....................................................... 80 2.7.1. Распределение суммы. Формула свертки . ........................... 81 2.7.2. Распределение отношения . ................................................... 82 2.8. Задачи к главе 2 . ........................................................................... 85 Глава 3. Числовые характеристики . ..................................................... 87 3.1.Математическое ожидание . ........................................................... 87 3.1.1. Свойства математического ожидания . ................................. 90 3.2. Дисперсия . ..................................................................................... 92 3.2.1. Свойства дисперсии . ............................................................. 93 3.3. Неравенство Чебышева . ................................................................. 96 3.4. Закон больших чисел . ................................................................... 98 3.5.Моменты распределения и другие характеристики. ..................... 99 3.6. Числовые характеристики случайного вектора . .......................... . 101 3.6.1. Свойства ковариации . .......................................................... . 101 3.6.2. Коэффициент корреляции и его свойства . ........................ . 103 3.7. Условное математическое ожидание. ............................................ . 105 3.8. Задачи к главе 3 . .......................................................................... . 109 Глава 4. Предельные теоремы. .............................................................. . 112 4.1. Предельные теоремы в схеме Бернулли. ...................................... . 112 4.1.1. Предельный переход от гипергеометрической формулы к биномиальной формуле . .................................... . 112 4.1.2. Теорема Пуассона . .............................................................. . 114 4.1.3. Теоремы Муавра–Лапласа. .................................................. . 115 4.2. Характеристические функции . .................................................... . 116 4.3. Центральная предельная теорема. ................................................ . 120 4.4. Задачи к главе 4 . .......................................................................... . 123 6

Стр.7

Оглавление Глава 5. Выборка и ее характеристики . .............................................. . 125 5.1. Задачи математической статистики . ............................................ . 125 5.2. Статистическая структура и выборка . ........................................ . 127 5.3. Выборочные аналоги функции распределения и моментов . ...... . 131 5.4. Частота и вероятность . ................................................................ . 135 5.5. Задачи к главе 5 . .......................................................................... . 142 Глава 6. Оценивание . ............................................................................ . 144 6.1. Задача оценивания параметров . .................................................. . 144 6.2.Метод моментов . .......................................................................... . 146 6.3.Метод разделяющих разбиений . .................................................. . 149 6.4. Оценки максимального правдоподобия . ...................................... . 151 6.5. Байесовские оценки . .................................................................... . 156 6.6. Свойства оценок . .......................................................................... . 157 6.6.1. Несмещенность . .................................................................. . 158 6.6.2. Эффективность. .................................................................... . 160 6.6.3. Состоятельность. .................................................................. . 165 6.6.4. Асимптотическая нормальность . ........................................ . 168 6.7. Доверительные интервалы . .......................................................... . 171 6.7.1. Неравенство Чебышева и доверительные интервалы. ........ . 171 6.7.2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального закона при известной дисперсии . .................. . 172 6.7.3. Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения . ................................................ . 175 6.7.4. Асимптотические доверительные интервалы . .................... . 175 6.8. Асимптотические свойства эмпирической функции распределения . .............................................................. . 176 6.9. Задачи к главе 6 . .......................................................................... . 177 Глава 7. Тесты значимости . .................................................................. . 181 7.1. Гипотезы и тесты . ........................................................................ . 181 7.2. Доверительные интервалы и проверка гипотез. .......................... . 182 7.3. Тесты значимости и принцип выбора критической области . ...... . 183 7.4. Критерий χ2................................................................................... . 185 7.5. Критерии Колмогорова и Смирнова . ............................................ . 191 7.6. Вероятностное интегральное преобразование . ............................ . 194 7.7. Тесты λ Пирсона . .......................................................................... . 195 7.8.Моделирование случайных величин . .......................................... . 200 7.9. Задачи к главе 7 . .......................................................................... . 201 Глава 8. Оптимальные тесты . .............................................................. . 205 8.1. Понятие оптимальности . .............................................................. . 205 8.2. Фундаментальная лемма Неймана–Пирсона . .............................. . 208 7

Стр.8

Оглавление 8.3. Равномерно наиболее мощные тесты . .......................................... . 215 8.4. Функция мощности. ...................................................................... . 221 8.5. Несмещенность . ............................................................................ . 223 8.6. Тест максимального правдоподобия . ............................................ . 231 8.7. Достаточные статистики. .............................................................. . 234 8.8. Задачи к главе 8 . .......................................................................... . 237 Список литературы. ................................................................................ . 239 Предметный указатель. .......................................................................... . 240

Стр.9