Математические сюрпризы (2000,00 руб.)

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

УДК 51 ББК 21.1 Б46 Б46 Математические сюрпризы / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 216 с.: ил. Бен-Ари М. ISBN 978-5-93700-191-7 Эта книга опровергает расхожее представление о том, что к изучению математики следует подходить со всей строгостью и эмоции в этом деле неуместны. На этих страницах вы найдете сюрпризы, фокусы и неожиданные источники вдохновения в области математики. Среди того, что вас удивит и порадует, – обоснование возможности геометрического построения алгебраическими средствами, демонстрация математических принципов на примере оригами, необычное доказательство по индукции, новый взгляд на хорошо известный результат и маловажная, на первый взгляд, теорема, легшая в основу целой отрасли математики. Издание предназначено тем, кто увлекается математикой и знает ее в объеме средней школы. УДК 51 ББК 21.1 © Mordechai Ben-Ari, 2022. This book is an open access publication. This book is licensed under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 Internalional License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0), which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the sourse, provide a link to the Creative Commons license and indicate if changes were made. Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 978-3-031-13565-1 (англ.) ISBN 978-5-93700-191-7 (рус.) © Mordechai Ben-Ari, 2022 © Перевод, оформление, издание, ДМК Пресс, 2023

Стр.5

Содержание От издательства ....................................................................................................10 Вступительное слово .........................................................................................11 Предисловие ..........................................................................................................13 Глава 1. Складывающийся циркуль ...........................................................18 1.1. Построение циркулем и линейкой ...................................................................19 1.2. Фиксированный и складывающийся циркули ...............................................19 1.3. Построение Евклида для копирования отрезка прямой ...............................21 1.4. Некорректное построение копии отрезка .......................................................22 1.5. Не доверяйте рисункам ......................................................................................24 В чем сюрприз? ..........................................................................................................25 Источники ...................................................................................................................25 Глава 2. Трисекция угла .....................................................................................26 2.1. Приближенные трисекции .................................................................................26 2.1.1. Первая приближенная трисекция .............................................................26 2.1.2. Вторая приближенная трисекция..............................................................29 2.2. Трисекция с помощью невсиса .........................................................................31 2.3. Удвоение куба с помощью невсиса ..................................................................32 2.4. Трисекция угла с помощью квадратрисы ........................................................33 2.5. Числа, допускающие построение ......................................................................35 2.6. Числа, допускающие построение, как корни многочленов ..........................37 2.7. Невозможность классических построений .....................................................39 В чем сюрприз? ..........................................................................................................41 Источники ...................................................................................................................41 Глава 3. Квадратура круга ...............................................................................42 3.1. Построение Кочански .........................................................................................43 3.2. Первое построение Рамануджана.....................................................................44 3.3. Второе построение Рамануджана .....................................................................47 3.4. Квадратура круга с помощью квадратрисы ....................................................50 В чем сюрприз? ..........................................................................................................51 Источники ...................................................................................................................51

Стр.6

6  Содержание Глава 4. Теорема о пяти красках ..................................................................52 4.1. Плоские карты и планарные графы .................................................................52 4.2. Формула Эйлера ..................................................................................................54 4.3. Непланарные графы ...........................................................................................56 4.4. Степени вершин ..................................................................................................57 4.5. Теорема о шести красках ...................................................................................58 4.6. Теорема о пяти красках ......................................................................................59 4.7. Некорректное доказательство Кемпе теоремы о четырех красках .............61 В чем сюрприз? ..........................................................................................................62 Источники ...................................................................................................................62 Глава 5. Как организовать охрану музея .................................................63 5.1. Раскрашивание триангулированных многоугольников ...............................64 5.2. От раскраски многоугольников к охране музея .............................................66 5.3. Любой многоугольник можно триангулировать ............................................66 В чем сюрприз? ..........................................................................................................69 Источники ...................................................................................................................69 Глава 6. Индукция ................................................................................................70 6.1. Аксиома математической индукции ...............................................................70 6.2. Числа Фибоначчи ................................................................................................72 6.3. Числа Ферма .........................................................................................................75 6.4. 91-функция Маккарти ........................................................................................76 6.5. Задача Иосифа Флавия .......................................................................................77 В чем сюрприз? ..........................................................................................................80 Источники ...................................................................................................................80 Глава 7. Решение квадратных уравнений ...............................................81 7.1. Традиционные методы решения квадратных уравнений ............................81 7.2. Связь между корнями и коэффициентами ......................................................82 7.3. Примеры применения метода Ло .....................................................................84 7.4. Вывод традиционной формулы.........................................................................86 7.5. Геометрическое решение квадратных уравнений аль-Хорезми .................86 7.6. Построение Кардано для решения кубических уравнений ..........................88 7.7. Мнимые числа их не смущали ...........................................................................89 7.8. Метод Лилла и окружность Карлайла ...............................................................90 7.9. Численное нахождение корней .........................................................................93 В чем сюрприз? ..........................................................................................................94 Источники ...................................................................................................................94 Глава 8. Теория Рамсея .....................................................................................95 8.1. Тройки Шура ........................................................................................................95 8.2. Пифагоровы тройки ............................................................................................97 8.3. Задача ван дер Вардена ......................................................................................98 8.4. Теорема Рамсея ...................................................................................................99

Стр.7

Содержание  7 8.5. Вероятностный метод ......................................................................................100 8.6. SAT-решатели.....................................................................................................101 8.6.1. Логика высказываний и SAT-задача .......................................................102 8.6.2. Тройки Шура ...............................................................................................102 8.6.3. Пифагоровы тройки ..................................................................................103 8.6.4. Краткий обзор алгоритма DPLL ...............................................................104 8.7. Пифагоровы тройки в вавилонской математике .........................................105 В чем сюрприз? ........................................................................................................108 Источники .................................................................................................................108 Глава 9. Задача Лэнгфорда ...........................................................................109 9.1. Задача Лэнгфорда как задача о покрытии ....................................................109 9.2. Для каких значений N задача Лэнгфорда разрешима? ...............................111 9.3. Решение для L(4) ...............................................................................................114 В чем сюрприз? ........................................................................................................115 Источник ...................................................................................................................115 Глава 10. Аксиомы оригами .........................................................................116 10.1. Аксиома 1 .........................................................................................................116 10.2. Аксиома 2 .........................................................................................................117 10.3. Аксиома 3 .........................................................................................................118 10.4. Аксиома 4 .........................................................................................................120 10.5. Аксиома 5 .........................................................................................................121 10.6. Аксиома 6 .........................................................................................................123 10.6.1. Вывод уравнения сгиба ...........................................................................125 10.6.2. Вывод уравнений отражения .................................................................128 10.6.3. Касательные к параболе .........................................................................129 10.7. Аксиома 7 .....................................................................................................130 Глава 11. Фокус-покус .....................................................................................133 11.2. Описание метода Лилла .................................................................................135 11.2.1. Метод Лилла как алгоритм .....................................................................135 11.2.2. Отрицательные коэффициенты ............................................................136 11.2.3. Нулевые коэффициенты .........................................................................137 11.2.4. Нецелые корни .........................................................................................137 11.2.5. Кубический корень из двух ....................................................................138 11.3. Доказательство корректности метода Лилла ..............................................139 11.4. Складывание Белох .........................................................................................140 В чем сюрприз? ........................................................................................................141 Источник ...................................................................................................................141 Глава 12. Геометрические построения с помощью оригами .....142 12.1. Трисекция угла Абе .........................................................................................142 12.2. Трисекция угла Мартина ................................................................................143 В чем сюрприз? ........................................................................................................132 Источники .................................................................................................................132

Стр.8

8  Содержание 12.3. Удвоение куба Мессера ...................................................................................145 12.4. Удвоение куба Белох .......................................................................................147 12.5. Построение правильного девятиугольника ................................................148 В чем сюрприз? ........................................................................................................150 Источники .................................................................................................................150 Глава 13. Циркуля достаточно ....................................................................151 13.1. Что такое построение одним циркулем? .....................................................151 13.2. Отражение точки .............................................................................................152 13.3. Построение окружности заданного радиуса ...............................................153 13.4. Сложение и вычитание отрезков ..................................................................154 13.5. Построение пропорционального отрезка ...................................................157 13.6. Построение точки пересечения двух прямых ............................................158 13.7. Построение точек пересечения прямой и окружности .............................160 В чем сюрприз? ........................................................................................................161 Источник ...................................................................................................................161 Глава 14. Линейки и одной окружности достаточно .......................162 14.1. Что такое построение одной линейкой?......................................................162 14.2. Построение прямой, параллельной заданной ............................................163 14.3. Построение перпендикуляра к заданной прямой .....................................166 14.4. Копирование отрезка в заданном направлении ........................................166 14.5. Построение пропорционального отрезка ...................................................167 14.6. Построение квадратного корня ....................................................................168 14.7. Построение точек пересечения прямой и окружности .............................169 14.8. Построение точек пересечения двух окружностей ....................................169 В чем сюрприз? ........................................................................................................171 Источники .................................................................................................................171 Глава 15. Конгруэнтны ли треугольники с одинаковыми площадью и периметром? ............................................................................172 15.1. От треугольника к эллиптической кривой ..................................................173 15.2. Решение уравнения эллиптической кривой ...............................................175 15.3. Вывод треугольника из эллиптической кривой .........................................177 В чем сюрприз? ........................................................................................................178 Источники .................................................................................................................178 Глава 16. Построение правильного семнадцатиугольника .........179 16.1. Построение правильных многоугольников ................................................180 16.2. Основная теорема алгебры ............................................................................181 16.3. Корни из единицы...........................................................................................181 16.4. Доказательство Гаусса возможности построения правильного семнадцатиугольника .............................................................................................182 16.5. Вывод формулы Гаусса ...................................................................................186 16.6. Построение правильного семнадцатиугольника .......................................187

Стр.9

Содержание  9 16.7. Построение правильного пятиугольника ....................................................190 16.7.1. Тригонометрическое ...............................................................................191 16.7.2. Геометрическое ........................................................................................191 В чем сюрприз? ........................................................................................................192 Источники .................................................................................................................192 Приложение А. Теоремы из геометрии и тригонометрии ............193 A.1. Теоремы о треугольнике ..................................................................................193 A.1.1. Вычисление площади треугольника ......................................................193 A.2. Тригонометрические тождества ....................................................................196 A.2.1. Синус и косинус суммы и разности двух углов ....................................196 A.2.2. Косинус тройного угла ..............................................................................198 A.2.3. Синус и косинус половинного угла.........................................................198 A.2.4. Теорема косинусов ....................................................................................199 A.2.5. Тангенс суммы двух углов .......................................................................200 A.2.6. Тангенс половинного угла .......................................................................201 A.2.7. Произведение трех тангенсов ..................................................................201 A.2.8. Предел sin α/α.............................................................................................202 A.3. Теоремы о свойствах биссектрисы ................................................................203 A.4. Теорема Птолемея ............................................................................................204 A.4.1. Трапеция, вписанная в окружность .......................................................204 A.4.2. Доказательство теоремы Птолемея ........................................................206 A.5. Теорема Чевы ....................................................................................................207 A.6. Теорема Менелая ..............................................................................................208 Источники .................................................................................................................209 Литература ............................................................................................................210 Предметный указатель ...................................................................................213

Стр.10