Структура и интерпретация классической механики (5000,00 руб.)

Стр.5

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

Стр.11

Стр.12

УДК 530.1 ББК 22.31T С20 С20 Структура и интерпретация классической механики / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 488 с.: ил. Сассман Дж. Дж., Уиздом Дж. ISBN 978-5-97060-954-5 В настоящее время нам известно, что содержание классической механики гораздо богаче, чем представлялось раньше. Вывод уравнений движения – центральная тема традиционных изложений механики – всего лишь начало. В этой новаторской книге акцент сделан на разработке общих методов изучения поведения классических систем вне зависимости от того, имеют они аналитическое решение или нет. В фокусе внимания авторов сам феномен движения, а для его исследования применяется компьютерное моделирование. Недавние открытия в области нелинейной динамики органично вплетены в текст, а не добавлены по завершении работы. Изучение таких явлений, как переход к хаотическому движению и нелинейные резонансы, помогает читателю освоить аналитический инструментарий, необходимый для их понимания. Издание адресовано студентам технических вузов, а также будет полезно всем, кто интересуется классической и современной физикой. УДК 530.1 ББК 22.31T Права на русскоязычное издание получены через Агентство Александра Корженевского (Москва). Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 978­0­262­02896­7 (англ.) ISBN 978­5­97060­954­5 (рус.) © 2014 Massachusetts Institute of Technology © Перевод, оформление, издание, ДМК Пресс, 2023

Стр.5

Содержание От издательства ....................................................................................................12 Предисловие ..........................................................................................................13 Благодарности ......................................................................................................19 Глава 1. Механика Лагранжа .........................................................................21 1.1. Конфигурационное пространство ....................................................................23 1.2. Обобщенные координаты ..................................................................................25 1.3. Принцип наименьшего действия .....................................................................28 Наблюдение движения .....................................................................................28 Реализуемые траектории .................................................................................28 1.4. Вычисление действий .........................................................................................33 Траектории минимального действия .............................................................37 Расчет траекторий, минимизирующих действие .........................................38 1.5. Уравнения Лагранжа–Эйлера ............................................................................42 Уравнения Лагранжа .........................................................................................42 1.5.1. Вывод уравнений Лагранжа .......................................................................43 Непосредственный вывод ................................................................................43 Вариационный оператор ..................................................................................44 Вывод уравнений Лагранжа с помощью вариационного оператора ........46 Гармонический осциллятор .............................................................................48 Движение по окружности в поле силы тяжести ............................................49 1.5.2. Уравнения Лагранжа на компьютере ........................................................51 Свободная частица ............................................................................................51 Гармонический осциллятор .............................................................................52 1.6. Откуда берутся лагранжианы? ..........................................................................54 Принцип Гамильтона ........................................................................................56 Равноускоренное движение .............................................................................57 Центральное силовое поле ...............................................................................57 1.6.1. Преобразования координат .......................................................................60 Кориолисовы и центробежные силы ..............................................................63 1.6.2. Системы с жесткими связями ....................................................................65 Лагранжианы для систем с жесткими связями .............................................65 Маятник на шарнирном подвесе ....................................................................66 Почему это работает .........................................................................................68 1.6.3. Связи как преобразования координат .....................................................74 1.6.4. Является ли лагранжиан системы единственным? ................................77 Полная производная по времени ....................................................................78 Прибавление полных производных по времени к лагранжианам ............79 Свойства полной производной по времени ..................................................81

Стр.7

Содержание  7 1.7. Эволюция динамического состояния ...............................................................82 Численное интегрирование .............................................................................86 1.8.2. Сохранение энергии ....................................................................................93 Энергия в терминах кинетической и потенциальной энергий ..................94 1.8. Сохраняющиеся величины ................................................................................91 1.8.1. Сохранение импульса .................................................................................91 Примеры сохраняющихся импульсов ...........................................................92 1.8.3. Центральные силы в трехмерном пространстве ....................................95 1.8.4. Ограниченная задача трех тел ...................................................................98 1.8.5. Теорема Нётер ............................................................................................100 Иллюстрация: движение в центральном поле ............................................102 1.9. Абстрагирование функций траектории .........................................................104 Мгновенные уравнения Лагранжа ................................................................107 1.10. Движение с ограничивающими связями ....................................................108 1.10.1. Координатные связи ...............................................................................110 Интересное наблюдение ................................................................................111 Альтернативный подход ................................................................................111 Маятник со связями ........................................................................................112 Построение систем из частей ........................................................................114 1.10.2. Связи как производные ..........................................................................116 Обруч Голдстейна ............................................................................................118 1.10.3. Неголономные системы ..........................................................................119 1.11. Резюме ..............................................................................................................122 1.12. Проекты ............................................................................................................123 Глава 2. Твердые тела ......................................................................................126 2.1. Кинетическая энергия вращения ...................................................................127 2.2. Кинематика вращательного движения ..........................................................129 Реализация функций угловой скорости .......................................................131 2.3. Моменты инерции ............................................................................................132 2.4. Тензор инерции .................................................................................................135 2.5. Главные моменты инерции .............................................................................136 2.6. Момент импульса ..............................................................................................139 2.7. Углы Эйлера ........................................................................................................141 2.8. Движение свободного твердого тела ..............................................................144 Сохраняющиеся величины .............................................................................144 2.8.1. Вычисление движения свободных твердых тел ....................................146 2.8.2. Качественные особенности движения свободного твердого тела .....148 2.9. Уравнения Эйлера .............................................................................................152 Уравнения Эйлера для твердых тел, совершающих вынужденное движение ..........................................................................................................155 2.10. Осесимметричные волчки .............................................................................157 2.11. Спин­орбитальное взаимодействие ............................................................164 2.11.1. Вывод потенциальной энергии .............................................................164 2.11.2. Вращение Луны и Гипериона .................................................................168 2.11.3. Спин­орбитальный резонанс ................................................................174 2.12. Несингулярные координаты и кватернионы ..............................................178

Стр.8

8  Содержание Композиция вращений ...................................................................................182 2.12.1. Описание движения в терминах кватернионов .................................184 2.13. Резюме ..............................................................................................................187 2.14. Проекты ............................................................................................................187 Глава 3. Гамильтонова механика ...............................................................189 3.1. Уравнения Гамильтона .....................................................................................191 Иллюстрация ....................................................................................................193 Гамильтоново состояние ................................................................................194 Вычисление уравнений Гамильтона .............................................................196 3.1.1. Преобразование Лежандра .......................................................................197 Преобразования Лежандра с пассивными аргументами ..........................200 Преобразования Лежандра квадратичных функций .................................203 Вычисление гамильтонианов ........................................................................203 3.1.2. Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия ................................................................................................................206 3.1.3. Электрическая схема .................................................................................207 3.2. Скобки Пуассона ................................................................................................209 Свойства скобки Пуассона .............................................................................210 Скобка Пуассона сохраняющихся величин .................................................211 3.3. Случай одной степени свободы ......................................................................211 3.4. Уменьшение фазового пространства .............................................................214 Движение в центральном поле .....................................................................215 Осесимметричный волчок .............................................................................217 3.4.1. Упрощение лагранжиана ..........................................................................222 3.5. Эволюция в фазовом пространстве ................................................................224 3.5.1. Описание фазового пространства неоднозначно ................................226 3.6. Поверхности сечения ........................................................................................226 3.6.1. Системы, совершающие периодическое вынужденное движение ....228 3.6.2. Вычисление стробоскопических поверхностей сечения .....................233 3.6.3. Автономные системы ................................................................................234 Исторический фон для работы Энона–Хейлза ...........................................235 Система Энона и Хейлза .................................................................................238 Интерпретация ................................................................................................242 3.6.4. Вычисление поверхностей сечения в системе Энона–Хейлза ............245 3.6.5. Неосесимметричный волчок ...................................................................247 3.7. Экспоненциальное расхождение ....................................................................248 3.8. Теорема Лиувилля .............................................................................................251 Фазовый поток для маятника ........................................................................251 Доказательство теоремы Лиувилля ..............................................................253 Сохранение площади стробоскопических поверхностей сечения ..........255 Теорема Пуанкаре о возвращении ................................................................255 Газ в углу комнаты ...........................................................................................256 Несуществование аттракторов в гамильтоновых системах .....................256 Сохранение фазового объема в диссипативной системе ..........................257 Функции распределения ................................................................................259 3.9. Стандартное отображение ...............................................................................259

Стр.9

Содержание  9 3.10. Резюме ..............................................................................................................262 3.11. Проекты ............................................................................................................263 Глава 4. Структура фазового пространства ..........................................265 4.1. Возникновение разделенного фазового пространства ...............................266 Сечения маятника на шарнирном подвесе, когда амплитуда действующей силы нулевая ...........................................................................267 Сечения маятника на шарнирном подвесе для малой действующей силы ...................................................................................................................269 4.2. Линейный анализ устойчивости .....................................................................270 4.2.1. Равновесие дифференциальных уравнений .........................................271 4.2.2. Неподвижные точки отображений..........................................................273 4.2.3. Соотношения между показателями ........................................................276 Специализация гамильтониана ....................................................................277 Линейная и нелинейная устойчивость ........................................................280 4.3. Гомоклинное переплетение ............................................................................280 4.3.1. Вычисление устойчивого и неустойчивого многообразий .................285 4.4. Интегрируемые системы .................................................................................288 Типы орбит в интегрируемых системах ......................................................288 Поверхности сечения для интегрируемых систем .....................................290 4.5. Теорема Пуанкаре–Биркгофа ..........................................................................292 4.5.1. Вычисление построения Пуанкаре–Биркгофа ......................................296 4.7. Резюме .................................................................................................................304 4.8. Проекты ..............................................................................................................307 4.6. Инвариантные кривые .....................................................................................299 4.6.1. Нахождение инвариантных кривых .......................................................300 4.6.2. Исчезновение инвариантных кривых ....................................................304 Глава 5. Канонические преобразования ...............................................308 5.1. Точечные преобразования ...............................................................................309 Реализация точечных преобразований .......................................................311 5.2.1. Преобразования, зависящие от времени ...............................................318 Вращающиеся координаты ............................................................................319 5.2. Общие канонические преобразования ..........................................................314 Полярно­каноническое преобразование .....................................................316 5.2.2. Абстрагирование условия каноничности ..............................................321 Примеры ...........................................................................................................322 Условие каноничности и скобки Пуассона ..................................................323 Симплектические матрицы ...........................................................................324 5.3. Инварианты канонических преобразований ...............................................327 Неинвариантность pv ......................................................................................327 Инвариантность скобок Пуассона .................................................................328 Сохранение объема .........................................................................................328 Симплектическая 2­форма ............................................................................329 Интегральный инвариант Пуанкаре ............................................................331 5.4. Производящие функции ..................................................................................333

Стр.10

10  Содержание Полярно­каноническое преобразование .....................................................334 5.4.1. F1 порождает канонические преобразования .......................................335 5.4.2. Производящие функции и интегральные инварианты .......................337 Производящие функции типа F1 ...................................................................337 Производящие функции типа F2 ...................................................................339 Связь между F1 и F2 ..........................................................................................340 5.4.3. Типы производящих функций .................................................................341 5.4.4. Точечные преобразования .......................................................................342 Полярные и прямоугольные координаты ....................................................343 Вращающаяся система координат ................................................................344 Сведение задачи двух тел к задаче одного тела .........................................344 Эпициклическое движение ............................................................................347 5.4.5. Полные производные по времени ..........................................................355 Маятник на шарнирном подвесе ..................................................................357 5.5. Расширенное фазовое пространство .............................................................359 Ограниченная задача трех тел.......................................................................363 5.5.1. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана ......................................365 5.7. Резюме .................................................................................................................370 5.8. Проекты ..............................................................................................................371 5.6. Приведенное фазовое пространство ..............................................................366 Орбиты в центральном поле .........................................................................367 Производящие функции в расширенном фазовом пространстве ...........369 Глава 6. Каноническая эволюция ..............................................................374 6.1. Уравнение Гамильтона–Якоби ........................................................................374 6.1.1. Гармонический осциллятор .....................................................................376 6.1.2. Уравнение Гамильтона–Якоби для задачи Кеплера .............................380 6.1.3. F2 и лагранжиан ..........................................................................................383 6.1.4. Действие порождает эволюцию во времени .........................................385 6.2. Эволюция во времени является канонической ............................................387 Еще раз о теореме Лиувилля ..........................................................................388 Еще одно преобразование, связанное с эволюцией во времени .............389 6.3. Преобразования Ли ...........................................................................................397 Преобразования Ли функций ........................................................................398 Простые преобразования Ли .........................................................................399 Пример ..............................................................................................................401 6.4. Ряды Ли ...............................................................................................................402 Динамика ..........................................................................................................404 Вычисление рядов Ли .....................................................................................406 6.5. Экспоненциальные тождества ........................................................................409 6.6. Резюме ................................................................................................................410 6.7. Проекты...............................................................................................................411 6.2.1. Другой взгляд на эволюцию во времени ................................................392 Сохранение площади поверхности сечения ...............................................394 6.2.2. И еще один взгляд на эволюцию во времени ........................................395

Стр.11

Содержание  11 Глава 7. Каноническая теория возмущений .........................................414 7.1. Теория возмущений, основанная на рядах Ли ..............................................415 7.2. Маятник как возмущенный ротор ..................................................................417 7.2.1. Более высокий порядок .............................................................................424 7.2.2. Исключение секулярных членов ..............................................................426 7.3. Случай многих степеней свободы ...................................................................428 7.3.1. Маятник на шарнирном подвесе как возмущенный ротор .................430 7.4. Нелинейный резонанс ......................................................................................432 7.4.1. Аппроксимация маятника ........................................................................434 Резонансы маятника на шарнирном подвесе .............................................435 7.4.2. Чтение гамильтониана ..............................................................................439 7.4.3. Критерий перекрытия резонансов ..........................................................441 7.4.4. Теория возмущения высшего порядка ...................................................442 7.4.5. Устойчивость перевернутого вертикального равновесия ...................443 7.5. Резюме .................................................................................................................446 7.6. Проекты...............................................................................................................447 Глава 8. Приложение: язык Scheme .........................................................449 Глава 9. Приложение: наша нотация .......................................................459 Литература ............................................................................................................472 Предметный указатель ...................................................................................475

Стр.12