Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB (4000,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

УДК 519.6 ББК В162я73 С51 С51 Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB. – М.: ДМК Пресс, 2019. – 560 с. Смоленцев Н. К. ISBN 978-5-97060-764-0 Данная книга состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретическую часть включены сведения по преобразованию Фурье, фильтрам и разложению сигналов. Достаточно подробно излагается общая теория вейвлетов, включая вейвлеты с произвольным натуральным коэффициентом масштабирования и многомерные вейвлеты с матричным коэффициентом масштабирования, гармонические вейвлеты и мультивейвлеты. Во второй, практической части книги существенно обновлена глава о возможностях Wavelet Toolbox MATLAB R2018b, которые включают теперь разложения на эмпирические моды EMD, процеду ры для машинного и глубокого обучения, двумерного непрерывного вейвлет-преобразования и многие другие новые интересные процедуры. Существенно дополнен раздел о приложениях вейвлетов. В частности, излагается метод создания классифицирующей системы для сигналов ЭКГ, дано описание методов использования вейвлет-анализа для изучения ЭЭГ. Обсуждаются методы использования вейвлетов для выделения контуров изображений. В последней главе книги показывается, как работать с вейвлет-анализатором MATLAB для изучения сигналов и изображений. Книга предназначена для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям, связанным с математикой, прикладной математикой и информационными технологиями, и будет полезна специалистам-практикам, использующим вейвлеты в своей работе. УДК 519.6 ББК В162я73 Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги. ISBN 978-5-97060-764-0 © Смоленцев Н. К., 2019 © Оформление, ДМК Пресс, 2019

Стр.3

Содержание Предисловие ........................................................................................................................................ 9 Часть I ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕЙВЛЕТОВ..................................................................................12 Глава 1 Преобразование Фурье и фильтры .................................................................................13 1.1. Предварительные замечания ...................................................................................................13 1.2. Ряды Фурье ......................................................................................................................................14 1.3. Преобразование Фурье ..............................................................................................................18 1.3.1. Преобразование Фурье в L1 1.3.2. Преобразование Фурье в L2 (R) .........................................................................................18 (R) .......................................................................................19 1.3.3. Свойства преобразований Фурье ...................................................................................21 1.3.4. Примеры ....................................................................................................................................23 1.3.5. Теорема Пэли-Винера .........................................................................................................23 1.3.6. Преобразование Фурье экспоненциально убывающей функции ....................24 1.3.7. Формула суммирования Пуассона .................................................................................25 1.3.8. Оконное преобразование Фурье ...................................................................................26 1.4. Преобразование Фурье дискретных сигналов .................................................................27 1.4.1. Дискретизация ........................................................................................................................27 1.4.2. Дискретное преобразование Фурье сигнала длины N ..........................................29 1.4.3. Преобразование Фурье числовой последовательности ......................................32 1.4.4. Z–преобразование ................................................................................................................35 1.5. Фильтры .............................................................................................................................................35 1.5.1. Фильтрация непрерывных сигналов .............................................................................35 1.5.2. Примеры фильтров ...............................................................................................................37 1.5.3. Цифровые фильтры .............................................................................................................40 1.5.4. Примеры цифровых фильтров .........................................................................................41

Стр.4

4 Содержание 1.6. Разложение сигнала на низкочастотную и высокочастотную составляющие ......42 1.6.1. Разложение идеальными фильтрами ............................................................................43 1.6.2. Восстановление идеальными фильтрами ....................................................................47 1.6.3. Общий случай ..........................................................................................................................49 1.6.4. Примеры ....................................................................................................................................54 1.6.5. Многоуровневый анализ сигналов .................................................................................57 Глава 2 Основы теории вейвлетов .......................................................................................................59 2.1. Вейвлеты Хаара .............................................................................................................................59 2.1.1. Последовательность масштабированных подпространств .................................60 2.1.2. Операторы проектирования ............................................................................................62 2.1.3. Пространства вейвлетов ....................................................................................................64 2.2. Масштабирующие функции ......................................................................................................68 2.2.1. Примеры и общие свойства масштабирующих функций .....................................68 2.2.2. Построение масштабирующей функции ......................................................................71 2.3. Ортогональный кратномасштабный анализ .......................................................................77 2.3.1. Ортогональное кратномасштабное разложение .....................................................78 2.3.2. Вейвлеты ..................................................................................................................................81 2.3.3. О единственности порождающих функций ...............................................................88 2.3.4. Неортогональный случай ..................................................................................................90 2.3.5. Достаточные условия ортогональности .......................................................................93 2.4. Вейвлет-преобразование ...........................................................................................................95 2.4.1. Вейвлет-разложение ............................................................................................................95 2.4.2. Быстрое вейвлет-преобразование ................................................................................99 2.4.3. Вопрос о начальных коэффициентах .........................................................................100 2.4.4. Восстановление ..................................................................................................................102 2.4.5. Вейвлет-пакеты ....................................................................................................................103 2.5. Примеры кратномасштабного анализа и вейвлетов ...................................................108 2.5.1. Вейвлеты Шеннона–Котельникова ............................................................................108 2.5.2. Вейвлеты Мейера ..............................................................................................................110 2.6. Вейвлеты Батла-Лемарье. B-сплайны ................................................................................115 2.6.1. Вейвлеты на основе B-сплайна степени 1 ..............................................................116 2.6.2. B-сплайны .............................................................................................................................120 2.6.3. Сплайновые вейвлеты .....................................................................................................122 2.7. Регулярность и нулевые моменты ........................................................................................125 2.8. Построение вейвлетов Добеши с компактным носителем .......................................131 2.8.1. Построение функции H0(ω) ..........................................................................................132 2.8.2. Симлеты ................................................................................................................................. 137 2.9. Койфлеты .......................................................................................................................................139

Стр.5

Содержание 5 2.10. Биортогональные вейвлеты .................................................................................................142 2.10.1. Мотивировка и определение .....................................................................................142 2.10.2. Условия на функции φ(x) и ψ(x) ................................................................................144 2.10.3. Построение функции φ~(x) .............................................................................................146 2.10.4. Построение функций ψ(x) и ψ~(x) ..............................................................................148 2.10.5. Условия на коэффициенты ..........................................................................................150 2.10.6. Симметричные биортогональные вейвлеты ........................................................150 2.10.7. Сплайны ...............................................................................................................................151 2.11. Двумерные вейвлеты .............................................................................................................154 2.11.1. Вейвлет-преобразование ............................................................................................158 2.12. Непрерывное вейвлет-преобразование ........................................................................159 2.12.1. Непрерывное вейвлет-преобразование в одномерном случае ..................159 2.12.2. Многомерные обобщения непрерывного вейвлет-преобразования .........162 2.13. Вейвлеты с коэффициентом масштабирования N .....................................................172 2.13.1. Масштабирующие функции .........................................................................................173 2.13.2. N-кратномасштабное разложение ............................................................................174 2.13.3. Вейвлеты с коэффициентом масштабирования N .............................................176 2.13.4. Вейвлет-преобразование .............................................................................................. 177 2.13.5. Разложение и восстановление в неортогональном случае ...........................179 2.14. Примеры N-масштабирующих функций и вейвлетов .............................................182 2.14.1. Вейвлеты Хаара с параметром сжатия N ...............................................................182 2.14.2. Вейвлеты Шеннона с параметром сжатия N ........................................................185 2.14.3. Вырожденные масштабирующие функции и вейвлеты Кантора ................188 2.14.4. Сплайновые масштабирующие функции................................................................192 2.14.5. Вейвлеты на основе В-сплайнов ..............................................................................195 2.14.6. Кратные коэффициенты масштабирования ..........................................................206 2.15. Построение ортогональных вейвлетов с компактным носителем для N > 2.................................................................................................................................................210 2.15.1. Условия ортогональности .............................................................................................211 2.15.2. Построение матрицы частотных функций ............................................................213 2.15.3. Построение матрицы частотных функций в случае N = 3 ..............................216 2.15.4. Примеры масштабирующих функций и вейвлетов для N = 3 .....................218 2.16. Многомерные вейвлеты с матричным коэффициентом масштабирования ..............................................................................................................................223 2.16.1. Масштабирующие функции ........................................................................................224 2.16.2. A-кратномасштабное разложение ...........................................................................234 2.16.3. Вейвлеты с матрицей масштабирования ..............................................................238 2.16.4. Вейвлет-преобразование ............................................................................................239 2.16.5. Разложение и восстановление ..................................................................................240 2.16.6. Построение вейвлетов с матрицей масштабирования ..................................245 2.17. Гармонические вейвлеты ......................................................................................................251

Стр.6

6 Содержание 2.17.1. Гармонические вейвлеты на R ...................................................................................251 2.17.2. Периодические гармонические вейвлеты .............................................................254 2.17.3. Дискретное гармоническое вейвлет-разложение ..............................................256 2.18. Мультивейвлеты .......................................................................................................................258 Часть II Вейвлеты в MATLAB ..................................................................................................................266 Глава 3 Функции вейвлет-анализа в MATLAB .......................................................................... 267 3.1. Вейвлеты и банки фильтров в системе MATLAB ..........................................................269 3.1.1. Вещественные и комплексные вейвлеты .................................................................269 3.1.2. Ортогональные и биортогнальные банки фильтров ............................................281 3.1.3. Построение вейвлетов. Лифтинг ...................................................................................286 3.2. Частотно-временной анализ..................................................................................................291 3.2.1. Непрерывное вейвлет-преобразование cwt ...........................................................291 3.2.2. Q-постоянно адаптивные к данным и квадратичные частотно-временные преобразования ..................................................................................305 3.2.3. Многомасштабный анализатор сигнала ....................................................................314 3.3. Дискретный вейвлет-анализ .................................................................................................. 317 3.3.1. Анализ одномерных сигналов ....................................................................................... 317 3.3.2. Анализ изображений .........................................................................................................339 3.3.3. Трехмерный анализ ...........................................................................................................355 3.3.4. Анализ мультисигналов ....................................................................................................359 3.4. Вейвлет-пакеты ...........................................................................................................................366 3.5. Удаление шума и сжатие сигнала ........................................................................................378 3.5.1. Функции MATLAB для удаления шума и сжатия ....................................................379 3.5.2. Многовариантное удаление шума ...............................................................................389 3.5.3. Сжатие сигнала ....................................................................................................................398 3.6. Вейвлеты в машинном и в глубоком обучении ............................................................405 3.6.1. Вейвлет-рассеивание ........................................................................................................406 3.6.2. Функции вейвлет-рассеивания времени ..................................................................409 3.7. Тестовые сигналы в MATLAB ..................................................................................................411 3.7.1 Одномерные тестовые сигналы .....................................................................................412 3.7.2. Изображения .........................................................................................................................412 3.7.3. Генерирование сигналов ..................................................................................................413 3.8. Приложения вейвлет-анализа .............................................................................................416 3.8.1. Вейвлет-анализ кардиосигнала ....................................................................................416 3.8.2. Непрерывный вейвлет-анализ кордиосигнала ......................................................426

Стр.7

Содержание 7 3.8.3. Удаление шума, компрессия и сглаживание кардиосигнала ............................433 3.8.4. Использование пакетных разложений ......................................................................435 3.8.5. Высокочастотные вейвлет-компоненты кардиосигнала для задач классификации ................................................................................................................................441 3.8.6. Вейвлет-пакетное разложение ЭЭГ на основные частотные ритмы ..............450 3.8.7. Выделение контура объекта изображения ...............................................................458 Глава 4 Вейвлет-анализатор пакета Wavelet Toolbox .......................................................464 4.1. Просмотр вейвлетов .................................................................................................................465 4.1.1. Просмотр вейвлетов ..........................................................................................................465 4.1.2. Просмотр пакетных вейвлетов ..................................................................................... 467 4.2. Продолжение сигналов и изображений (Extension)....................................................468 4.3. Одномерный вейвлет-анализ ................................................................................................471 4.3.1. Одномерный вейвлет-анализ сигнала (Wavelet 1-D) ...........................................471 4.3.2. Одномерный пакетный вейвлет-анализ ....................................................................480 4.3.3. Непрерывный вейвлет-анализ (Continuous Wavelet 1-D) ..................................483 4.3.4. Комплексный непрерывный вейвлет-анализ (Complex Continuous Wavelet 1-D) ...................................................................................................................................... 487 4.3.5. Непрерывный вейвлет-анализ на основе FFT ........................................................489 4.4. Специализированные средства одномерного вейвлет-анализа ............................493 4.4.1. Удаление шума стационарного одномерного сигнала (SWT De-noising 1-D).....................................................................................................................494 4.4.2. Оценка плотности (Density Estimation 1-D) .............................................................498 4.4.3. Оценка регрессии (Regression Estimation 1-D) ......................................................502 4.4.4. Выбор вейвлет-коэффициентов сигнала (Wavelet Coefficients Selection 1-D) ...................................................................................................................................505 4.4.5. Моделирование дробного броуновского движения (Fractional Brownian Generation 1-D) ............................................................................................................ 507 4.4.6. Выполнение подгонки (Matching Pursuit 1-D) ........................................................508 4.5. Двумерный вейвлет-анализ ...................................................................................................512 4.5.1. Двумерный дискретный вейвлет-анализ (Wavelet 2-D) ......................................513 4.5.2. Двумерный пакетный вейвлет-анализ .......................................................................515 4.5.3. Двумерное непрерывное вейвлет-преобразование ............................................516 4.6. Специализированные средства двумерного вейвлет-анализа ...............................519 4.6.1. Удаление шума изображения (SWT De-noising 2-D) ............................................519 4.6.2. Выбор вейвлет-коэффициентов изображения (Wavelet Coefficients Selection 2-D) ...................................................................................................................................520 4.6.3. Слияние двух изображений (Image Fusion) .............................................................522 4.6.4. Истинное сжатие с использованием вейвлетов (True Compression 2-D) .....524

Стр.8

8 Содержание 4.7. Трехмерный вейвлет-анализ (Wavelet 3-D) ......................................................................528 4.8. Мультисигналы (Multiple 1-D) ...........................................................................................532 4.8.1. Вейвлет-анализ мультисигнала .....................................................................................532 4.8.2. Многовариантное удаление шума (Multivariate Denoising) .............................. 537 4.8.3. Многомасштабный анализ главных компонент .....................................................544 4.9. Проектирование вейвлетов для непрерывного вейвлет-преобразования (New Wavelet for CWT) ...................................................................................................................... 547 Список литературы ....................................................................................................................550 Предметный указатель ........................................................................................................... 557

Стр.9