Изображение квантовых процессов (6000,00 руб.)

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

Стр.11

Стр.12

УДК 517.982.224 ББК 22.12 К55 К55 Изображение квантовых процессов / пер. с анг. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2019. – 880 с.: ил. Коке Б., Киссинджер А. ISBN 978-5-97060-727-5 Эта книга – живое изложение великолепного подхода авторов к квантовым процессам. Не имеющие аналогов особенности квантового мира в этой книге объясняются на языке диаграмм – новаторском наглядном методе изложения сложных теорий. Применяемый формализм позволяет выработать интуитивное понимание квантовых особенностей без сложных вычислений – для чтения достаточно базовой математической подготовки. Это чисто диаграммное изложение квантовой теории – плод 10-летних исследований, объединяющий классические методы линейной алгебры и гильбертовых пространств с передовыми достижениями в области квантовых вычислений и оснований квантовой теории. Книга написана простым языком, с юмором и включает свыше 100 упражнений. Издание будет полезно в качестве начального курса по основаниям квантовой теории и квантовым вычислениям для студентов, а также для ученых из разных областей – физики, биологии, лингвистики и когнистивистики. УДК 517.982.224 ББК 22.12 Printed in the United Kingdom by TJ International Ltd. Padstow Cornwall. Copyright © 2017 Bob Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой Coecke and Aleks Kissinger. Russian-language edition copyright © 2019 by DMK Press. All rights reserved. бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 978-1-107-10422-8 (анг.) ISBN 978-5-97060-727-5 (рус.) Copyright © 2017 Bob Coecke and Aleks Kissinger © Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2019

Стр.5

Содержание Предисловие ........................................................................................................................ 12 Глава 1. Введение .............................................................................................................. 17 1.1. Пингвины и белый медведь .............................................................................................. 17 1.2. Так что же тут нового? ....................................................................................................... 21 1.2.1. Новое отношение к квантовой теории: особенности .............................................. 22 1.2.2. Новый вид математики: диаграммы ........................................................................ 25 1.2.3. Новое основание физики: процессные теории ........................................................ 27 1.2.4. Новая парадигма: квантовый пикторализм ............................................................. 29 1.3. Исторические замечания и ссылки................................................................................... 31 Глава 2. Как читать эту книгу ........................................................................................ 35 2.1. Кто вы и чего вы хотите? ................................................................................................... 35 2.2. Меню ................................................................................................................................... 36 2.2.1. Как эволюционируют диаграммы в этой книге ....................................................... 36 2.2.2. Голливудский трейлер ................................................................................................ 39 2.2.3. Промежуточное синтаксическое загрязнение ......................................................... 40 2.2.4. Итоги, исторические замечания, ссылки, эпиграфы ............................................... 41 2.2.5. Заголовки со звездочкой и материал повышенной сложности .............................. 41 2.3. Часто задаваемые вопросы ............................................................................................... 42 Глава 3. Процессы как диаграммы ............................................................................ 45 3.1. От процессов к диаграммам .............................................................................................. 46 3.1.1. Процессы – блоки, системы – провода ...................................................................... 46 3.1.2. Процессные теории .................................................................................................... 49 3.1.3. Диаграммы – это математика .................................................................................... 52 3.1.4. Процессные равенства ............................................................................................... 55 3.1.5. Подстановка диаграмм............................................................................................... 59 3.2. Схемные диаграммы .......................................................................................................... 61 3.2.1. Параллельная композиция ........................................................................................ 61 3.2.2. Последовательная композиция ................................................................................. 62 3.2.3. Два эквивалентных определения схем ..................................................................... 64 3.2.4. Диаграммы лучше алгебры ........................................................................................ 67 3.3. Функции и отношения как процессы ............................................................................... 70 3.3.1. Множества ................................................................................................................... 70 3.3.2. Функции ...................................................................................................................... 72 3.3.3. Отношения .................................................................................................................. 74 3.3.4. Сравнение функций с отношениями ........................................................................ 77 3.4. Специальные процессы ..................................................................................................... 77 3.4.1. Состояния, эффекты и числа...................................................................................... 77 3.4.2. Как выразить невозможное: нулевые диаграммы ................................................... 85 3.4.3. Процессы, равные «с точностью до числа» ............................................................... 86 3.4.4. Нотация Дирака .......................................................................................................... 88 3.5. Итоги: что следует запомнить .......................................................................................... 90

Стр.6

6  Содержание 3.6. Дополнительный материал* ............................................................................................. 93 3.6.1. Абстрактные тензорные системы* ............................................................................ 94 3.6.2. Симметричные моноидальные категории*.............................................................. 96 3.6.3. Диаграммы общего вида и схемы* ............................................................................ 98 3.7. Исторические замечания и ссылки ................................................................................... 99 Глава 4. Струнные диаграммы ................................................................................... 102 4.1. Чашки, крышки и струнные диаграммы ........................................................................ 103 4.1.1. Разделимость ............................................................................................................ 104 4.1.2. Двойственность процессов и состояний ................................................................. 107 4.1.3. Уравнения разгибания ............................................................................................. 110 4.1.4. Струнные диаграммы ............................................................................................... 112 4.2. Транспонирование и след ............................................................................................... 114 4.2.1. Транспонирование ................................................................................................... 115 4.2.2. Транспонирование составных систем .................................................................... 120 4.2.3. След и частичный след ............................................................................................. 122 4.3. Отражение диаграмм ....................................................................................................... 124 4.3.1. Адъюнкция ................................................................................................................ 124 4.3.2. Сопряжение ............................................................................................................... 129 4.3.3. Внутреннее произведение ....................................................................................... 134 4.3.4. Унитарность .............................................................................................................. 138 4.3.5. Положительность ...................................................................................................... 139 4.3.6. ⊗-положительность ................................................................................................. 141 4.3.7. Проекторы ................................................................................................................. 143 4.4. Квантовые особенности, выводимые из струнных диаграмм ...................................... 146 4.4.1. Теорема о невозможности универсальной разделимости .................................... 147 4.4.2. Две теоремы о невозможности клонирования ....................................................... 151 4.4.3. Как будто время вспять течет .................................................................................. 156 4.4.4. Телепортация ............................................................................................................ 159 4.5. Итоги: что следует запомнить ........................................................................................ 164 4.6. Дополнительный материал* ........................................................................................... 169 4.6.1. Струнные диаграммы в абстрактных тензорных системах* ................................. 169 4.6.2. Двойственные типы и самодвойственность* ......................................................... 170 4.6.3. Инволютивные компактные замкнутые категории* ............................................. 174 4.7. Исторические замечания и ссылки ................................................................................. 175 Глава 5. От диаграмм к гильбертову пространству.......................................... 178 5.1. Базисы и матрицы ............................................................................................................ 180 5.1.1. Базис для типа ........................................................................................................... 180 5.1.2. Матрица процесса .................................................................................................... 187 5.1.3. Суммы процессов ..................................................................................................... 192 5.1.4. От матриц к процессам ............................................................................................ 197 5.1.5. Матрицы изометрических и унитарных процессов .............................................. 203 5.1.6. Матрицы самоадъюнктных и положительных процессов ..................................... 207 5.1.7. Следы матриц ............................................................................................................ 211 5.2. Матричное исчисление .................................................................................................... 213 5.2.1. Последовательная композиция матриц .................................................................. 213 5.2.2. Параллельная композиция матриц ......................................................................... 214 5.2.3. Матричная форма чашек и крышек ........................................................................ 221 5.2.5. Матрицы как процессные теории ........................................................................... 224 5.3. Гильбертовы пространства .............................................................................................. 227

Стр.7

Содержание  7 5.3.1. От диаграмм к линейным отображениям и гильбертовым пространствам ........ 227 5.3.2. От сопряжения к положительности ......................................................................... 229 5.3.3. Почему математики любят комплексные числа .................................................... 231 5.3.4. Классические логические вентили как линейные отображения........................... 237 5.3.5. X-базис и линейное отображение Адамара ............................................................ 240 5.3.6. Базис Белла и отображения Белла ........................................................................... 245 5.4. Гильбертовы пространства и диаграммы ...................................................................... 250 5.4.1. Струнные диаграммы полны относительно линейных отображений .................. 251 5.4.2. Теоретико-множественное определение гильбертовых пространств .................. 253 5.5. Итоги: что следует запомнить ........................................................................................ 261 5.6. Дополнительный материал* ........................................................................................... 266 5.6.1. За пределами конечного числа измерений* ........................................................... 267 5.6.2. Категории с суммами и базисами* .......................................................................... 269 5.6.3. Суммы в теории узлов* ............................................................................................ 271 5.6.4. Эквивалентность симметричных моноидальных категорий* .............................. 272 5.7. Исторические замечания и ссылки ................................................................................. 278 Глава 6. Квантовые процессы .................................................................................... 281 6.1. Переход к чистым квантовым отображениям путем дублирования............................ 283 6.1.1. Дублирование порождает вероятности ................................................................... 284 6.1.2. Дублирование устраняет глобальные фазы ............................................................ 287 6.1.3. Процессная теория чистых квантовых отображений ............................................ 291 6.1.4. Что сохраняется при дублировании ........................................................................ 296 6.1.5. Что не сохраняется при дублировании ................................................................... 301 6.2. От отбрасывания к квантовым отображениям .............................................................. 305 6.2.1. Отбрасывание ........................................................................................................... 305 6.2.2. Нечистота .................................................................................................................. 310 6.2.3. Вес и причинность для квантовых состояний ........................................................ 313 6.2.4. Процессная теория квантовых отображений ......................................................... 319 6.2.5. Каузальность квантовых отображений ................................................................... 324 6.2.6. От каузальности к изометричности и унитарности .............................................. 326 6.2.7. Разложение Крауса и смешивание .......................................................................... 330 6.2.8. Теорема о нераспространении ................................................................................ 337 6.3. Относительность в процессных теориях ........................................................................ 341 6.3.1. Причинная структура ............................................................................................... 342 6.3.2. Из причинности следует несигнальность ............................................................... 347 6.3.3. Причинность и ковариантность .............................................................................. 348 6.4. Квантовые процессы ........................................................................................................ 350 6.4.1. Недетерминированные квантовые процессы ........................................................ 352 6.4.2. Недетерминированная реализация всех квантовых отображений ...................... 355 6.4.3. Очищение квантовых процессов ............................................................................. 358 6.4.4. Для телепортации необходимо классическое взаимодействие ............................ 361 6.4.5. Управляемые процессы ............................................................................................ 363 6.4.6. Квантовая телепортация в деталях ......................................................................... 365 6.5. Итоги: что следует запомнить ........................................................................................ 368 6.6. Дополнительный материал* ........................................................................................... 372 6.6.1. Дублирование общих процессных теорий* ............................................................ 372 6.6.2. Аксиоматизация дублирования* ............................................................................. 374 6.6.3. А теперь кое-что из другой области* ....................................................................... 376 6.7. Исторические замечания и ссылки ................................................................................. 377

Стр.8

8  Содержание Глава 7. Квантовые измерения .................................................................................. 380 7.1. Измерения ОНБ ................................................................................................................ 382 7.1.1. Введение в измерительные приборы от додо ......................................................... 382 7.1.2. Возмущающие измерения ОНБ ............................................................................... 385 7.1.3. Невозмущающие измерения ОНБ ........................................................................... 390 7.1.4. Суперпозиция и интерференция ............................................................................. 391 7.1.5. Наилучшая из имеющихся альтернатив наблюдению ........................................... 395 7.2. Динамика измерений и квантовые протоколы ............................................................. 396 7.2.1. Индуцированная измерением динамика I: обратное действие ............................ 397 7.2.2. Пример: вентильная телепортация ......................................................................... 400 7.2.3. Индуцированная измерением динамика II: коллапс ............................................. 402 7.2.4. Пример: перекоммутация запутывания ................................................................. 404 7.3. Более общие виды измерения ......................................................................................... 406 7.3.1. Измерения фон Неймана ......................................................................................... 406 7.3.2. Квантовый формализм фон Неймана ..................................................................... 412 7.3.3. Измерения POVM ...................................................................................................... 416 7.3.4. Теоремы Наймарка и Озавы о дилатации ............................................................... 418 7.4. Томография ....................................................................................................................... 421 7.4.1. Томография состояния ............................................................................................. 421 7.4.2. Информационно полные измерения ...................................................................... 424 7.4.3. Локальная томография = процессная томография ................................................. 426 7.5. Итоги: что следует запомнить ......................................................................................... 428 7.6. Дополнительный материал* ............................................................................................ 432 7.6.1. А существуют ли вообще квантовые измерения?* ................................................. 432 7.6.2. Проекторы и квантовая логика* .............................................................................. 435 7.6.3. Невозможность локальной томографии* ................................................................ 437 7.7. Исторические замечания и ссылки ................................................................................. 439 Глава 8. Изображение классически-квантовых процессов .......................... 441 8.1. Классические системы как провода................................................................................ 445 8.1.1. Двойные и одиночные провода ............................................................................... 446 8.1.2. Пример: плотное кодирование ................................................................................ 449 8.1.3. Измеритель и кодировщик ...................................................................................... 451 8.1.4. Классически-квантовые отображения .................................................................... 453 8.1.5. Удаление и причинность .......................................................................................... 457 8.2. От пауков к классическим отображениям...................................................................... 460 8.2.1. Классические отображения ...................................................................................... 461 8.2.2. Копирование и удаление .......................................................................................... 464 8.2.3. Пауки ......................................................................................................................... 474 8.2.4. Если нечто ведет себя как паук, то это и есть паук ................................................. 481 8.2.5. Все линейные отображения как пауки + изометрии .............................................. 484 8.2.6. Паучьи диаграммы и полнота ................................................................................. 489 8.3. От пауков к квантовым отображениям .......................................................................... 491 8.3.1. Измеритель и кодировщик как пауки ..................................................................... 492 8.3.2. Декогеренция ............................................................................................................ 497 8.3.3. Классические, квантовые и гибридные пауки........................................................ 502 8.3.4. Смешивание с пауками ............................................................................................ 507 8.3.5. Запутывание для нечистых состояний.................................................................... 511 8.4. Измерения и протоколы с участием пауков .................................................................. 514 8.4.1. Измерения ОНБ ........................................................................................................ 515 8.4.2. Управляемые унитарные процессы ........................................................................ 518

Стр.9

Содержание  9 8.4.3. Телепортация ............................................................................................................ 521 8.4.4. Плотное кодирование ............................................................................................... 524 8.4.5. Перекоммутация запутывания ................................................................................ 525 8.4.6. Измерения фон Неймана ......................................................................................... 526 8.4.7. Измерения POVM и теорема Наймарка о дилатации ............................................. 529 8.5. Итоги: что следует запомнить ........................................................................................ 530 8.6. Дополнительный материал* ........................................................................................... 537 8.6.1. Пауки как алгебры Фробениуса* ............................................................................. 538 8.6.2. Некоммутативные пауки* ........................................................................................ 541 8.6.3. Волосатые пауки* ..................................................................................................... 544 8.6.4. Пауки как слова* ....................................................................................................... 547 8.7. Исторические замечания и ссылки ................................................................................. 547 Глава 9. Изображение фаз и дополнительности ............................................... 550 9.1. Украшенные пауки ........................................................................................................... 552 9.1.1. Несмещенность и фазовые состояния .................................................................... 552 9.1.2. Фазовые пауки .......................................................................................................... 558 9.1.3. Слияние фазовых пауков ......................................................................................... 560 9.1.4. Фазовая группа ......................................................................................................... 563 9.1.5. Фазовые вентили ...................................................................................................... 566 9.2. Многоцветные пауки ....................................................................................................... 570 9.2.1. Дополнительные пауки ............................................................................................ 570 9.2.2. Дополнительность и несмещенность ...................................................................... 576 9.2.3. От дополнительности к вентилю CNOT .................................................................. 582 9.2.4. «Цвета» классических данных ................................................................................. 585 9.2.5. Дополнительные измерения.................................................................................... 587 9.2.6. Квантовое распределение ключей .......................................................................... 591 9.2.7. Телепортация с дополнительными измерениями.................................................. 594 9.3. Сильная дополнительность ............................................................................................. 600 9.3.1. Недостающие правила ............................................................................................. 601 9.3.2. Моногамия сильной дополнительности ................................................................. 604 9.3.3. Лики сильной дополнительности ............................................................................ 605 9.3.4. Классическая подгруппа .......................................................................................... 610 9.3.5. От пауков к отображениям четности ...................................................................... 617 9.3.6. Классификация сильной дополнительности .......................................................... 621 9.4. ZX-исчисление .................................................................................................................. 624 9.4.1. ZX-диаграммы универсальны.................................................................................. 626 9.4.2. ZX-исчисление для диаграмм Клиффорда .............................................................. 629 9.4.3. ZX-исчисление для додо: только диаграммы и ничего более ............................... 634 9.4.4. ZX для профессионалов: строим собственное исчисление ................................... 640 9.4.5. ZX для богов: полнота .............................................................................................. 645 9.4.6. Что нам дало полное ZX-исчисление ...................................................................... 653 9.5. Итоги: что следует запомнить ........................................................................................ 655 9.6. Дополнительный материал* ........................................................................................... 661 9.6.1. Сильно дополнительные пауки как алгебра Хопфа* .............................................. 661 9.6.2. Сильная дополнительность и нормальные формы* .............................................. 664 9.7. Исторические замечания и ссылки ................................................................................. 667 Глава 10. Квантовая теория: полная картина..................................................... 670 10.1. Диаграммы ..................................................................................................................... 671 10.1.1. Схемные диаграммы .............................................................................................. 671

Стр.10

10  Содержание 10.1.2. Струнные диаграммы ............................................................................................. 673 10.1.3. Дублированные диаграммы ................................................................................... 675 10.1.4. Паучьи диаграммы ................................................................................................. 677 10.1.5. ZX-диаграммы......................................................................................................... 680 10.2. Процессы ......................................................................................................................... 682 10.2.1. Причинность ........................................................................................................... 683 10.2.2. Разложение процессов и невозможность распространения ............................... 683 10.2.3. Примеры .................................................................................................................. 685 10.3. Законы............................................................................................................................. 691 10.3.1. Дополнительность .................................................................................................. 691 10.3.2. Сильная дополнительность .................................................................................... 694 10.3.3. ZX-исчисление ........................................................................................................ 696 10.4. Исторические замечания и ссылки ............................................................................... 699 Глава 11. Основания квантовой теории ................................................................ 701 11.1. Квантовая нелокальность .............................................................................................. 701 11.1.1. Уточнения квантовой теории ................................................................................ 702 11.1.2. Сценарии ГХЦ–Мермина ....................................................................................... 704 11.1.3. Получение противоречия ....................................................................................... 706 11.2. Квантовоподобные процессные теории ....................................................................... 708 11.2.1. Дополнительность в теории отношений ............................................................... 708 11.2.2. Модельная квантовая теория Спеккенса .............................................................. 710 11.2.3. Фазы в спек-теории ................................................................................................ 714 11.2.4. ZX-исчисление для спек-теории ............................................................................ 718 11.2.5. Нелокальность в спек-теории? .............................................................................. 721 Глава 12. Квантовые вычисления ............................................................................ 726 12.1. Схемная модель .............................................................................................................. 727 12.1.1. Квантовые вычисления как ZX-диаграммы.......................................................... 728 12.1.2. Построение квантовых вентилей в виде ZX-диаграмм ....................................... 731 12.1.3. Универсальность схем ............................................................................................ 738 11.3. Итоги: что следует запомнить ....................................................................................... 723 11.4. Исторические замечания и ссылки ............................................................................... 724 12.2. Квантовые алгоритмы ................................................................................................... 745 12.2.1. (Ложная?) магия квантового оракула .................................................................... 746 12.2.2. Алгоритм Дойча–Йожи .......................................................................................... 750 12.2.3. Квантовый поиск .................................................................................................... 755 12.2.4. Задача о скрытой подгруппе .................................................................................. 760 12.3. Основанные на измерении квантовые вычисления ................................................... 767 12.3.1. Графовые и кластерные состояния ........................................................................ 769 12.3.2. Измерение графовых состояний ........................................................................... 770 12.3.3. Прямое распространение ....................................................................................... 772 12.3.4. Прямое распространение с помощью классических проводов ........................... 775 12.3.5. Универсальность ..................................................................................................... 779 Глава 13. Квантовые ресурсы .................................................................................... 787 13.1. Ресурсные теории ........................................................................................................... 788 13.1.1. Бесплатные процессы ............................................................................................. 789 13.1.2. Сравнение ресурсов ................................................................................................ 791 12.4. Итоги: что следует запомнить ....................................................................................... 784 12.5. Исторические замечания и ссылки ............................................................................... 786

Стр.11

Содержание  11 13.1.3. Измерение ресурсов ............................................................................................... 794 13.2. Теория чистоты .............................................................................................................. 796 13.2.1. Сравнение чистоты ................................................................................................. 797 13.2.2. Измерение (не)чистоты .......................................................................................... 806 13.3. Теория запутывания ...................................................................................................... 807 13.3.1. LOCC-запутывание ................................................................................................. 808 13.3.2. SLOCC-запутывание ............................................................................................... 821 13.3.3. Взрывающиеся пауки ............................................................................................. 827 13.3.4. Назад к основам: арифметика ............................................................................... 832 Глава 14. Программа Quantomatic ........................................................................... 842 14.1. Проверка Quantomatic в деле ........................................................................................ 843 14.2. !-блоки: замена многоточию ......................................................................................... 849 14.3. Синтез физических теорий ........................................................................................... 852 14.4. Исторические замечания и ссылки ............................................................................... 855 Некоторые обозначения .............................................................................................. 857 Библиография ................................................................................................................... 858 Предметный указатель ................................................................................................. 874 13.4. Итоги: что следует запомнить ....................................................................................... 836 13.5. Исторические замечания и ссылки ............................................................................... 840

Стр.12