Дифференциальные уравнения (190,00 руб.)

Стр.2

Стр.106

Стр.107

УДК 517.9(075) ББК 22.161.6я7 Е30 Печатается по решению редакционно-издательского совета Казанского национального исследовательского технологического университета Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. С. А. Кузнецов канд. физ.-мат. наук, доц. Ф. Р. Шакирзянов Е30 Егоров Д. Л. Дифференциальные уравнения : учебное пособие / Д. Л. Егоров; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2020. – 108 с. ISBN 978-5-7882-2911-9 Представлены основы теории дифференциальных уравнений. Рассмотрены различные классы обыкновенных дифференциальных уравнений, свойства и виды их решений, а также начальные сведения о краевых задачах, теории устойчивости и уравнениях в частных производных. Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 01.03.05 «Статистика», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника». Подготовлено на кафедре интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами. УДК 517.9(075) ББК 22.161.6я7 ISBN 978-5-7882-2911-9 © Егоров Д. Л., 2020 © Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2020

Стр.2

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 3 1. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ...................................... 5 1.1. Дифференциальное уравнение и его решения ........................................ 5 1.2. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям ........ 7 1.3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Метод изоклин ............................................................................................. 9 1.4. Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка ..................................................................................... 11 1.4.1. Уравнения с разделяющимися переменными ..................................... 11 1.4.2. Уравнения в дифференциалах .............................................................. 12 1.4.3. Однородные уравнения ......................................................................... 13 1.4.4. Уравнения в полных дифференциалах ................................................ 15 1.4.5. Линейные уравнения ............................................................................. 16 1.5. Уравнения высших порядков ................................................................. 20 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................. 22 2.1. Определение нормальной системы линейных дифференциальных уравнений .................................................................................................................. 22 2.2. Свойства вектор-функций ...................................................................... 23 2.3. Свойства систем линейных дифференциальных уравнений ............... 28 2.4. Линейная независимость решений. Определитель Вронского ........... 33 2.4.1. Линейно независимые векторы ........................................................... 33 2.4.2. Определитель Вронского ..................................................................... 34 2.4.3. Формула Лиувилля ................................................................................ 36 2.4.4. Общее решение линейной системы уравнений .................................. 38 2.5. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка ....................... 43 2.6. Некоторые частные случаи ..................................................................... 46 2.7. Линейные дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами ....................................................................................................... 48 3. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ..... 51 3.1. Сведение задачи Коши к интегральному уравнению .......................... 51 3.2. Теоремы существования и единственности .......................................... 52 3.3. Понятие непродолжаемого решения ..................................................... 56 3.4. Особые решения ...................................................................................... 57 3.4.1. Огибающая однопараметрического семейства кривых ................... 57 3.4.2. Понятие особого решения. Свойства особых решений ................... 59 3.4.3. Уравнение Клеро ................................................................................... 63 3.4.4. Уравнение Лагранжа ........................................................................... 64 106

Стр.106

3.5. Влияние параметров на решение задачи Коши .................................... 66 3.5.1. Зависимость правой части нормальной системы уравнений от параметра ........................................................................................................... 66 3.5.2. Система уравнений в вариациях ......................................................... 67 3.6. Динамическая система ............................................................................ 69 3.6.1. Понятие динамической системы ....................................................... 69 3.6.2. Свойства динамических систем ......................................................... 70 3.6.3. Положение равновесия и период решения ......................................... 71 3.6.4. Функция последования .......................................................................... 73 4. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА .............................................................................................. 75 4.1. Понятие краевой задачи .......................................................................... 75 4.2. Метод «стрельбы» ................................................................................... 76 4.3. Метод «прогонки» ................................................................................... 77 4.4. Функция Грина ........................................................................................ 80 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ....................................................... 86 5.1. Понятие устойчивости ............................................................................ 86 5.2. Устойчивость положения равновесия однородной линейной системы дифференциальных уравнений ................................................................ 89 5.3. Лемма Ляпунова. Теорема Ляпунова ..................................................... 91 5.4. Консервативная механическая система ................................................. 95 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ...................................................................................................... 98 6.1. Понятие дифференциального уравнения в частных производных ..... 98 6.2. Характеристика квазилинейного уравнения ....................................... 100 6.3. Задача Коши для уравнения в частных производных ........................ 101 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................................... 104

Стр.107