Математика (200,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 51(075.8) М 34 Авторский коллектив С.Н. Веричев, А.В. Гобыш, О.Е. Рощенко, Е.А. Лебедева Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор Е.В. Семенко, д-р техн. наук, профессор Е.Г. Подружин Работа подготовлена на кафедре инженерной математики М 34 Математика: учебное пособие / С.Н. Веричев, А.В. Гобыш, О.Е. Рощенко, Е.А. Лебедева. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2019. – 174 с. ISBN 978-5-7782-3872-5 Настоящее учебное пособие содержит годовой объем материала и состоит из десяти глав. По каждой теме приведены теоретические вопросы, задачи для решения как в аудитории, так и для самостоятельной работы. Предназначено для студентов нематематических специальностей. Может быть полезно преподавателям по математике для обучения студентов нематематических специальностей, а также студентам для самостоятельного изучения предмета «Математика». УДК 51(075.8) ISBN 978-5-7782-3872-5 © Авторский коллектив, 2019 © Новосибирский государственный технический университет, 2019 2

Стр.2

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .................................................................................................................. 8 Глава 1. Элементы векторной алгебры ................................................................. 9 1.1. Определители второго и третьего порядка ...................................................... 9 1.1.1. Понятие матрицы ......................................................................................... 9 1.1.2. Определители второго порядка. ................................................................ 10 1.1.3. Определители третьего порядка. ............................................................... 10 1.2. Векторы. Линейные операции. Линейная зависимость ............................... 11 1.2.1. Понятие вектора, операции над векторами ............................................. 11 1.2.2. Условие линейной зависимости и линейной независимости векторов на плоскости и в пространстве ............................................................ 15 1.2.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе. Декартова система координат. Проекция вектора на ось ............................... 16 1.3. Геометрический смысл коэффициентов разложения вектора по декартовому базису. Направляющие косинусы. Радиус-вектор точки ........ 20 1.4.Скалярное произведение векторов .................................................................. 22 1.4.1. Геометрические свойства скалярного произведения ............................. 22 1.4.2. Алгебраические свойства скалярного произведения ............................. 22 1.4.3. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах ..... 23 1.5. Векторное и смешанное произведение .......................................................... 23 1.5.1. Векторное произведение векторов ........................................................... 23 1.5.2. Выражение векторного произведения в декартовых координатах ..... 24 3

Стр.3

1.5.3. Смешанное произведение векторов ......................................................... 25 1.5.4. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах .... 25 Глава 2. Элементы аналитической геометрии .................................................. 30 2.1. Уравнение линии на плоскости ....................................................................... 30 2.2. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Уравнение прямой линии на плоскости и в пространстве ................................. 32 2.2.1. Уравнение поверхности в пространстве .................................................. 32 2.2.2. Уравнение линии в пространстве ............................................................. 33 2.2.3. Прямая линия на плоскости ....................................................................... 33 2.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки ................................... 34 2.3. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности двух прямых .............................................................................. 37 2.4. Плоскость и прямые линии в пространстве ................................................... 37 2.4.1. Плоскость в пространстве .......................................................................... 37 2.4.2. Прямая линия в пространстве ................................................................... 39 2.4.3. Угол между прямой и плоскостью............................................................ 40 2.4.4. Пересечение прямой и плоскости ............................................................. 41 2.5. Кривые второго порядка, их свойства ............................................................ 43 2.5.1. Эллипс .......................................................................................................... 43 2.5.2. Гипербола ..................................................................................................... 44 2.5.3. Парабола ....................................................................................................... 45 Глава 3. Предел и непрерывность функций ....................................................... 55 3.1. Предел функции. Основные понятия ............................................................. 55 3.2. Предел дробно-рациональной функции. Иррациональные выражения ... 56 3.3. Бесконечно малые величины. Первый замечательный предел ................... 59 3.4. Второй замечательный предел ........................................................................ 61 3.5. Непрерывность функции .................................................................................. 63 4

Стр.4

Глава 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной ....... 67 4.1. Производная. Дифференциал. Производная сложной функции ................ 67 4.2. Производная обратной функции, функций, заданных неявно и параметрически ..................................................................................................... 71 4.3. Производные высших порядков ...................................................................... 72 4.4. Геометрический и механический смысл производной ............................... 74 4.5. Дифференциал функции................................................................................... 76 4.6. Теоремы о дифференцируемых функциях .................................................... 79 4.7. Правило Лопиталя–Бернулли .......................................................................... 79 4.8. Формула Тейлора .............................................................................................. 82 Глава 5. Неопределенный интеграл ..................................................................... 88 5.1. Первообразная и неопределенный интеграл ................................................. 88 5.2. Основные свойства неопределенного интеграла ......................................... 88 5.3. Таблица основных неопределенных интегралов .......................................... 89 5.4. Основные методы интегрирования ................................................................. 89 5.5. Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен ............................................................................................... 94 5.6. Рациональные дроби ......................................................................................... 96 5.7. Интегрирование простейших рациональных дробей .................................. 96 5.8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций ...................... 98 5.9. Интегрирование некоторых иррациональных функций ............................. 99 Глава 6. Определенный интеграл ....................................................................... 104 6.1. Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. .................. 104 6.2. Основные свойства определенного интеграла ........................................... 107 6.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница ............................................................................... 110 5

Стр.5

6.4. Основные методы вычисления определенного интеграла ....................... 110 6.5. Несобственные интегралы ............................................................................. 113 6.5.1. Несобственный интеграл первого рода (по бесконечному промежутку) ....................................................................................................... 113 6.5.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) .......................................................................... 116 Глава 7. Дифференциальное исчисление функции двух переменных ....... 119 7.1. Область определения функции двух переменных ..................................... 119 7.2. Производная и дифференциал функции двух переменных ...................... 120 7.2.1. Частные производные первого порядка ................................................. 120 7.2.2. Дифференцируемость и полный дифференциал функции .................. 121 7.2.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков ............. 123 7.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ..................................... 125 7.4. Экстремум функции двух переменных ........................................................ 127 7.5. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в замкнутой области .............................................................................................. 128 Глава 8. Двойные интегралы ............................................................................... 133 8.1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах .................................... 133 8.2. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах .................... 137 8.3. Применение двойных интегралов ................................................................. 139 Глава 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения ............................. 145 9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка ....................................... 145 9.1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ... 146 9.1.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка .......... 148 9.1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли ........................................................................................... 149 9.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .......................................................... 153 6

Стр.6

Глава 10. Ряды ......................................................................................................... 157 10.1. Числовые ряды .............................................................................................. 157 10.1.1. Знакоположительные ряды .................................................................... 158 10.1.2. Знакочередующиеся ряды ...................................................................... 162 10.2. Функциональные и степенные ряды .......................................................... 164 10.3. Разложение функций в степенные ряды .................................................... 166 Библиографический список ..................................................................................... 173 7

Стр.7