Непрерывная математика: теория и практика. Предел последовательности и предел функции, непрерывные и дифференцируемые функции (304,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

УДК 517.4(075.8) ББК 22.162я73 А16 Печатается по решению редакционно-издательского совета Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета (протокол № 4 от 14 апреля 2017 г.) Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики и вычислительного эксперимента Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета В. С. Пилиди; доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, физики и информационных технологий Донского казачьего института пищевых технологий и бизнеса (филиал) Московского государственного университета технологий и управления им. К. Г. Разумовского (Первый казачий университет) В. Н. Беркович Абрамян, А. В. А16 Непрерывная математика: теория и практика. Предел последовательности и предел функции, непрерывные и дифференцируемые функции : учебник / А. В. Абрамян ; Южный федеральный университет.  Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2018.  253 с. ISBN 978-5-9275-2499-0 В учебнике освещены начальные темы курса «Непрерывная математика»: метод математической индукции, предел последовательности, предел функции, непрерывность, производная и ее приложения. Материал построен так, чтобы максимально облегчить студентам его изучение: сначала излагаются теоретические сведения и рассматриваются многочисленные примеры, демонстрирующие различные виды задач и методы их решения, затем предлагаются задания для самостоятельного выполнения. В конце учебника ко всем задачам для самостоятельного решения даны ответы. Для многих результатов приводится их графическая интерпретация. Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии». УДК 517.4(075.8) ББК 22.162я73 ISBN 978-5-9275-2499-0 © Южный федеральный университет, 2018 © Абрамян А. В., 2018 © Оформление. Макет. Издательство Южного федерального университета, 2018

Стр.3

Оглавление Предисловие ........................................................................................................ 5 Глава 1. Введение ............................................................................................. 7 1.1. Метод математической индукции ........................................................... 7 1.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................ 26 Глава 2. Предел последовательности ......................................................... 30 2.1. Определение сходящейся последовательности ................................... 30 2.1.1. Последовательности, имеющие конечный предел ......................... 30 2.1.2. Бесконечно большие последовательности ...................................... 38 2.1.3. Последовательности, стремящиеся к +∞ ....................................... 43 2.1.4. Последовательности, стремящиеся к −∞ ....................................... 47 2.2. Вычисление предела последовательности ........................................... 49 2.3. Задачи для самостоятельного решения ................................................ 63 Глава 3. Предел функции .............................................................................. 64 3.1. Определение предела функции ............................................................. 64 3.1.1. Предел функции при 𝒙 → 𝒂, 𝒂 ∈ 𝐑 .................................................. 64 3.1.2. Предел функции при 𝒙 → +∞ .......................................................... 70 3.1.3. Предел функции при 𝒙 → −∞ .......................................................... 74 3.1.4. Предел функции при 𝒙 → ∞ ............................................................. 79 3.1.5. Бесконечно большие функции при 𝒙 → 𝒂 ...................................... 80 3.1.6. Функции, стремящиеся к +∞ при 𝒙 → 𝒂 ........................................ 82 3.1.7. Функции, стремящиеся к −∞ при 𝒙 → 𝒂 ........................................ 83 3.1.8. Односторонние пределы ................................................................... 84 3.1.9. Бесконечно большие функции при 𝒙 → ∞ ...................................... 86 3.2. Вычисление пределов ............................................................................. 87 3.2.1. Предел отношения многочленов...................................................... 90 3.2.2. Пределы иррациональных функций ................................................ 95 3.2.3. Использование эквивалентностей ................................................... 99 3.2.4. Предел степенно-показательной функции .................................... 112 3.3. Непрерывность и точки разрыва ......................................................... 119 3.4. Задачи для самостоятельного решения .............................................. 124 Глава 4. Производная функции одной переменной .............................. 127 4.1. Производная явной функции ............................................................... 127 4.2. Производные высших порядков .......................................................... 141 4.3. Производная обратной функции ......................................................... 147 4.4. Производная функции, заданной параметрически ............................ 149 4.5. Производная функции, заданной неявно ............................................ 153 4.6. Производная функции, заданной в полярных координатах ............ 156 4.7. Задачи для самостоятельного решения .............................................. 158

Стр.4

Глава 5. Приложения производной .......................................................... 162 5.1. Правило Лопиталя ................................................................................ 162 5.2. Формула Тейлора ................................................................................. 172 5.2.1. Символ 𝒐 и его свойства ................................................................ 172 5.2.2. Разложение функций по формуле Тейлора .................................. 175 5.2.3. Приближенные вычисления .......................................................... 185 5.3. Формула Тейлора: раскрытие неопределенностей ........................... 191 5.4. Задачи для самостоятельного решения .............................................. 197 Глава 6. Построение графиков функций ................................................ 200 6.1. Предварительные сведения ................................................................. 200 6.1.1. Критерий монотонности функции ................................................ 200 6.1.2. Экстремум функции ....................................................................... 200 6.1.3. Выпуклые функции ........................................................................ 201 6.1.4. Касательная к графику функции ................................................... 202 6.1.5. Точки перегиба ................................................................................ 202 6.1.6. Асимптоты ....................................................................................... 203 6.2. Построение графиков функций .......................................................... 204 6.3. Задачи для самостоятельного решения .............................................. 223 Глава 7. Справочные сведения ................................................................. 226 7.1. Формулы для возведения в степень ................................................... 226 7.2. Формулы сокращенного умножения .................................................. 227 7.3. Арифметическая прогрессия ............................................................... 228 7.4. Геометрическая прогрессия ................................................................ 228 7.5. Тригонометрические формулы ........................................................... 229 7.5.1. Значения и связь с обратными функциями .................................. 229 7.5.2. Формулы приведения ..................................................................... 230 7.5.3. Период синуса и косинуса ............................................................. 232 7.5.4. Период тангенса и котангенса ....................................................... 232 7.5.5. Сумма и разность тригонометрических функций ....................... 233 7.5.6. Функции суммы и разности аргументов ...................................... 233 7.5.7. Функции удвоенного аргумента .................................................... 233 7.5.8. Формулы понижения степени ....................................................... 234 7.6. Эквивалентные функции ..................................................................... 234 7.7. Таблица производных .......................................................................... 234 7.8. Формула Тейлора ................................................................................. 235 Ответы к задачам для самостоятельного решения ............................... 236 Литература ..................................................................................................... 252

Стр.5