Тензорный анализ и дифференциальная геометрия (250,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет Федеральное агентство научных организаций Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Красноярск СФУ 2017

Стр.2

УДК 514.743(07) ББК 22.151.51я73 Т330 Р е ц е н з е н т ы: А. В. Тимофеенко, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания КГПУ им. В. П. Астафьева; В. И. Сенашов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук Т330 Тензорный анализ и дифференциальная геометрия : учеб. пособие / И. В. Киреев, Л. В. Кнауб, Д. В. Левчук, Я. Н. Нужин. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2017. – 102 с. ISBN 978-5-7638-3622-6 Изложены начала векторной алгебры, тензорного анализа и дифференциальной геометрии; описаны основы линейной алгебры, тензоры напряжений и деформации. Для лучшего усвоения материала пособие снабжено списком контрольных вопросов и заданий. Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 15.03.03 «Прикладная математика» и 15.03.01 «Машиностроение». Электронный вариант издания см.: http://catalog.sfu-kras.ru УДК 514.743(07) ББК 22.151.51я73 ISBN 978-5-7638-3622-6 © Сибирский федеральный университет, 2017

Стр.3

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Основы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Операции над векторами и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Линейная зависимость системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Вычисление векторного и смешанного произведений в прямоугольных системах координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Глава 2. Элементы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Линейные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Операции над линейными преобразованиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования . 28 Глава 3. Основы тензорного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Контравариантные и ковариантные составляющие вектора . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Понятие тензора и преобразование его компонент. Тензор типа (𝑝, 𝑞) . . . . . . 34 3.3. Примеры тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4. Тензорная алгебра. Операции над тензорами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5. Метрический и дискриминантный тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6. Ковариантное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Глава 4. Основы дифференциальной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1. Плоские кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2. Касательная и нормаль к кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Пространственные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4. Поверхности в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Глава 5. Тензоры напряжений и деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1. Тензор напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2. Тензор деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Контрольные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Контрольное задание 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Контрольное задание 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Контрольное задание 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Контрольное задание 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Контрольное задание 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Контрольное задание 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Контрольное задание 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Контрольное задание 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Контрольное задание 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Контрольное задание 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Контрольное задание 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Контрольное задание 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Контрольное задание 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Контрольное задание 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Контрольное задание 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Контрольное задание 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3

Стр.4