УДК 517.927 ОБ ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧЕ С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В. В. <...> Юргелас Воронежский государственный университет Установлены достаточные условия разрешимости задачи Неймана для одномерного уравнения Шредингера с постоянным потенциалом и полиномиальной нелинейностью. <...> Рассмотрим задачу Неймана следующего вида П М Ф У -+ = В () ( , ) k ФxxT ()== промежутке [0,T]. xx a t x w2 0 km ££ 00 ( ), (t),.,am k ∫ f t x (1) (2) в которой w — ненулевой вещественный параметр, а функции a0 (t) непрерывны на Задачи подобного рода возникают, например, при моделировании некоторых процессов в гидродинамике (см. <...> Покажем, что полиномиальность нелинейности f(t,x) по фазовой переменной позволяет достаточно простыми средствами обосновать разрешимость граничных задач типа (1)—(2). <...> Рассмотрим теперь нелинейное интегральное уравнение xt H t s f s x s ds T ()= ( , ; ) ( , ( )) 0 Ъ w (4) и установим достаточные условия его разрешимости в пространстве C[0,T]. <...> Если для заданных a* , w и m множество положительных решений неравенства a r w2 m+1 * ◊ r - £ r - 1 1 (5) непусто, то уравнение (4) имеет по крайней мере одно непрерывное на [0,T] решение. <...> Если формулой (Fx)(t) = = f(t,x(t)) определить действующий в C[0,T] нелинейный оператор F, а через Hw *F обозначить суперпозицию операторов Hw и F, то в операторной форме уравнение (4) примет вид xF x=* ()( ). <...> МАТЕМАТИКА, 2006, № 2 (6) Оператор F, как нетрудно видеть, непрерывен и ограниченные множества пространства 253 ограничен, то ts T TŒ¥ с учетом очевидного неравенства wwl В. В. Юргелас C[0,T] переводит в ограниченные. <...> Стандартными рассуждениями можно доказать компактность оператора Hw зать такое r > 0, что для образа замкнутого шара Sr C компактность суперпозиции Hw *F. <...> Таким образом, выполнены все условия принципа неподвижной точки Шаудера [2], откуда следует разрешимость уравнения (6) или, что то же, интегрального уравнения <...>