ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2004, ¹1 УДК 517.925.52 МЕТОД НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ © 2004 А. И. Перов Воронежский государственный университет Изучается поведение траекторий динамической системы при условии, что она имеет направляющую функцию, т.е. функцию, возрастающую вдоль любой траектории, проходящей через некоторое открытое множество фазового пространства. <...> Показывается, что динамически предельные точки не могут лежать в указанном открытом множестве, и приводятся условия существования траекторий, устойчивых по Лагранжу. <...> В статье впервые дается определение направляющих функций (функционалов) для динамических систем, рассматриваемых в произвольных локально компактных метрических пространствах. <...> Метод направляющих функций был предложен в статье [4], где он был применен в проблеме существования периодических решений нестационарных (неавтономных) систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. <...> Здесь мы ставим перед собой несколько иную задачу: мы хотим выяснить поведение всех траекторий динамической системы, если известно, что она обладает направляющей функцией, имеющей те или иные свойства. <...> В учебнике [3] в первой главе представлен обширный материал подобного сорта, но он имеет локальную направленность и группируется вокруг вопросов устойчивости инвариантных множеств. <...> Отметим, что в другом учебнике [6] изложены интересные факты теории динамических систем, представленных стационарными системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений в конечномерном евклидовом пространстве. <...> Изложенная ниже теория применима не только к описанным выше уравнениям, но и к произвольным гладким потокам на дифференциальных многообразиях, снабженных римановой метрикой [1]. <...> В фазовом пространстве R , которое мы считаем произвольным локально компактным метрическим пространством, рассмотрим динамическую систему fp t .() , Предположим, что имеется разложение <...>