ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2004, ¹1 УДК 517.954:532 ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СЛАБОГО РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ © 2004 Д. А. Воротников Воронежский государственный университет Исследуется начально-краевая задача для уравнений движения вязкоупругой среды с определяющим соотношением Джеффриса. <...> Для этой задачи найдено энергетическое неравенство и доказано существование слабого решения, удовлетворяющего этому неравенству. <...> Получено достаточное условие единственности слабых решений этой задачи. <...> Вопрос о единственности слабых решений для большинства уравнений гидродинамики в общем случае остается открытым. <...> Например, для уравнений НавьеСтокса в двумерном случае слабое решение единственно, а в трехмерном имеются лишь условные результаты, например, классический результат Сезера и Серрина ([1], теорема III. <...> 3.9) о том, что если слабое решение принадлежит дополнительно 84 LT ( )) (0,;L Ω , то оно единственно в классе слабых решений, удовлетворяющих энергетическому неравенству. <...> В [2] было доказано существование слабых решений начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой среды с определяющим соотношением Джеффриса [3]. <...> В настоящей работе для этой задачи найдено энергетическое неравенство и доказано существование слабого решения, удовлетворяющего этому неравенству. <...> Получен также аналог теоремы Сезера и Серрина о единственности слабых решений для этой задачи. <...> Обозначим через nn ¡ риц порядка nn = дением для (), () () nnAB Ч,=∑ A Bij ij AAij BBij n ¡ ij 1 ,= Будем использовать следующие обознаЧ пространство матЧ со скалярным произве= а через nn метричных матриц. <...> Якоби от вектор-функции u :Ω ⊂ → Символом ∇ будем обозначать упорядочен¡¡ ¡ , nnn ЧЧ nn nn n S ,, 2 =Ω,WE Ниже E обозначает одно из пространств ЧЧ :Ω ⊂ → ¡ . m(), 02 HE EWΩ, = Ω, o () () mm p Будем использовать стандартные обозначения ()p Ω, , ()m LE WE HE LE Ω, , ()m Ω, = для пространств Лебега и Соболева для функций <...>