Размыслов2 Исследуются свойства полиномиальных векторных полей конечного ниль-индекса на аффинной плоскости. <...> Key words: affine plane, vector field, differentiation, nil-index, flat curve. каждой точки (x, y) аффинной плоскости в касательном пространстве зафиксирован вектор (a, b), который полиномиально зависит от x, y. <...> Когда такое векторное поле допускает достаточно много интегральных кривых, выражаемых многочленами от t? <...> Пусть алгебраическое замыкание подмножества M в K2 (K = R,C) совпадает с K2 Обозначим ND(v) def ипри любых (x0,y0) ∈M решение системы дифференциальных уравнений dx dt = a(x, y), dy = a(x, y) ∂ образующие x и y,т.е. ND(x),ND(y) <∞. <...> Пусть K — произвольное поле нулевой характеристики и ненулевое дифференцирование ∂p ∂q − ∂H ∂ b = b/c ∈ K[q, p]. ∂q ∂p для подходящего H(q, p) ∈ D(h(q, p)) = ND(h(q, p)) для всех h ∈ U,в H(q, p) порождает подалгебру UD; D(q)= degp ¯ H(q, p),N ¯ ∂q ) не равен нулю ни в какой точке ¯ K2. q и p, существуют такие порождающие u(q, p),v(q, p) ∈ K[q, p],что D в этой новой, криволинейной на K2 системе координат имеет вид f(u) · ∂ 1Герасимова Ольга Вячеславовна — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ynona_olga@rambler.ru. <...> Для любого дифференцирования D алгебры K[q, p], действующего нильпотентно на ∂v,где f(t) ∈ K[t]. <...> (1)), задаваемая уравнением K2, неприводима ∂y алгебры многочленов K[x, y] действует нильпотентно на = {h(q, p) <...> Непосредственная проверка показывает, что ψD Поэтому степенные ряды x(t) def = ψD При K = R,C по теореме С. Ковалевской <...> По условию теоремы 1, когда O ∈ M, решение (1) выражается многочленами, следовательно, для O лежит в подалгебре многочленов K[t], порожденной в стеO(q), y(t) def любой такой точки <...>