15 2 Методы оптимизации в задачах линейного программирования . <...> 21 Графический метод решения задач линейного программирования . <...> 36 3 Методы решения задач на оптимизацию транспортных перевозок . <...> 55 4 Методы оптимизации в задачах нелинейного программирования . <...> 62 Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений . <...> 66 Задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничения . <...> 69 Задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений . <...> После того, как математическая модель построена, должен быть решен вопрос о ее наилучшем (оптимальном) функционировании, т.е. должен быть сформулирован критерий оптимальности. <...> Мы рассмотрим только некоторые оптимизационные задачи, дающие первоначальное представление о методах оптимизации. <...> На практике, в большинстве случаев, понятие оптимальный (наилучший) может быть выражено количественными критериями – максимум (max), минимум (min). <...> Оптимальный результат (по выбранным критериям), как правило, находят в результате перевода условия задачи на математический язык и получения так называемую математическую постановку исходной задачи. <...> Математическая модель считается построенной, если она с достаточной точностью характеризует деятельность объекта по выбранному критерию. <...> Только после этого математическая модель может быть использована для решения оптимизационных задач. <...> Так как требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции в интервале общеобразовательной школе. <...> Средним арифметическим этих чисел называется число x1 x2 … xn . n 9 называется число n x1 x2 … xn Определение. <...> Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел: n x1 x2 … xn x1 x2 … xn . n Равенство имеет место при x1, x2 … xn . <...> Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f (x) , дифференцируемой в x a <...>
Методы_оптимизации.pdf
УДК 517.968 (075.8)
ББК 22.161.6я75
А41
Рецензенты
И.В. Игнатушина, кандидат физико-математических наук, доцент, зав.
кафедрой математического анализа и методики преподавания математики
Оренбургского государственного педагогического университета
В.В. Тугов, кандидат технических наук, доцент кафедры системного анализа и
управления Оренбургского государственного университета
Акимов, И. А.
А 41 Методы оптимизации: учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов / И.А. Акимов, А.И. Акимов,
Е.О. Каракулина; Мин-во образования и науки Рос. Федерации, ФГБОУ ВПО
«Оренб. гос. пед. ун-т». – Оренбург, 2016.– 117 с.: ил.
УДК 517.968 (075.8)
ББК 22.161.6я75
©Акимов И.А., Акимов А.И., Каракулина Е.О., 2016
Стр.2
Содержание
Введение ..................................................................................................................................................... 4
1 Классические экстремальные задачи .............................................................................. 5
Классические задачи на максимум и минимум ................................................................................ 6
Применение теорем о среднем арифметическом и среднем геометрическом для
решения задач на оптимизацию ............................................................................................................. 9
Применение производных для решения практических задач на оптимизацию ... 15
2 Методы оптимизации в задачах линейного программирования .......................... 21
Графический метод решения задач линейного программирования .................................... 22
Методы решения задач на основе проблемы двойственности в теории оптимизации 29
Методы решения задач на оптимизацию на основе симплекс--‐метода ...................... 36
3 Методы решения задач на оптимизацию транспортных перевозок .................... 45
Метод «Северо--‐Западного» угла ................................................................................................ 47
Метод минимального элемента ................................................................................................. 51
Метод Фогеля .................................................................................................................................... 55
4 Методы оптимизации в задачах нелинейного программирования ..................... 62
Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейной
системой ограничений ............................................................................................................................ 66
Задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и линейной
системой ограничения ............................................................................................................................ 69
Задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и
нелинейной системой ограничений .................................................................................................. 73
Приложение А ........................................................................................................................................... 77
Стр.3
Введение
Решение задач в науке, технике, экономике и множество задач, связанных
с конструированием, проектированием, эксплуатацией различного рода
сооружений, механизмов, устройств и т.д. приводит к отысканию оптимальных
(наилучших с некоторой точки зрения) решений. Для их описания используется
математический аппарат (математические модели).
После того, как математическая модель построена, должен быть решен
вопрос о ее наилучшем (оптимальном) функционировании, т.е. должен быть
сформулирован критерий оптимальности.
Различные варианты могут быть получены за счет изменения параметров
модели, если такие изменения допустимы. Такие параметры будем в
дальнейшем называть переменными оптимизации.
Технология производства, прочностные характеристики конструкций,
условия эксплуатации и т.д. накладывают на переменные оптимизации
естественные ограничения. Всю совокупность возможных значений параметров
мы будем называть областью допустимых значений.
Таким образом, задача оптимизации состоит в том, чтобы найти такие
значения переменных в области допустимых значений, которые доставляют
критерию оптимальности максимальное или минимально значение.
Поскольку применяемые в настоящее время модели чрезвычайно
разнообразны, то и задачи их оптимизации весьма многочисленны, тем более
методы их решения. Мы рассмотрим только некоторые оптимизационные
задачи, дающие первоначальное представление о методах оптимизации.
4
Стр.4