«Îïòèêà атмосферы и îêåàíà», 26, ¹ 1 (2013)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН
УДК 535.32/58
Распространение широкополосных световых пучков
В.А. Банах, Л.О. Герасимова
*
Институт оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН
634021, ã. Òîìñê, ïë. Академика Çóåâà, 1
Поступила в редакцию 20.06.2012 ã.
Рассмотрено распространение широкополосных импульсных световых гауссовых пучков в однородной
среде при различных условиях дифракции на передающей апертуре. Показано, что при любых радиусах кривизны
начального волнового фронта дифракционное уширение импульсного пучка уменьшается с уменьшением
длительности импульса и в предельном случае «нулевой» длительности импульса дифракционное расплывание
пучка отсутствует.
Ключевые ñëîâà: дифракция, гауссов световой ïó÷îê, δ-èìïóëüñ; diffraction, Gaussian optical beam,
delta-pulse.
Введение
Исследованию оптики коротких импульсов в последние
годы уделяется все большее внимание [1–3].
В частности, проводится анализ распространения широкополосных
световых импульсов [3–8]. В [4, 5] расчеты
дифракции импульсов фемтосекундной длительности
проведены для режима дальней çîíû. В [7, 8]
рассмотрены средняя интенсивность и степень пространственно-временной
когерентности частично когерентных
световых импульсных пучков без ограничения
на режим дифракции и показано, что с уменьшением
длительности импульса уменьшается дифракционное
уширение светового пучка и улучшается его
пространственная когерентность.
В [9] дан анализ амплитуды импульсных сфокусированных
световых пучков в плоскости фокуса
и сделан вывод, что в предельном случае «нулевой»
длительности импульса (δ-импульса) амплитуда поля
пучка в фокусе неограниченно возрастает, т.е. сфокусированный
δ-импульсный пучок не испытывает
дифракции. Однако вопрос о том, что происходит
с дифракцией сфокусированных δ-импульсных пучков
на расстояниях, не совпадающих с фокальной
плоскостью, а также коллимированных и расходящихся
δ-импульсных световых пучков с широким временным
спектром, остался за пределами результатов
[9].
В настоящей статье представлены данные расчета
дифракции широкополосных импульсных световых
пучков при различных соотношениях между
радиусом кривизны волнового фронта пучка и длиной
трассы распространения.
______________
* Виктор Арсентьевич Банах (banakh@iao.ru); Лилия
Олеговна Герасимова (lilian@sibmail.com).
© Банах Â.À., Герасимова Ë.Î., 2013
1. Основные соотношения
Решение волнового уравнения, описывающего
распространение электромагнитного поля E(r, t) в однородной
среде
∆=
∂
Et) –
r
где ∆= ∂∂ ∂
yz
∂∂ ∂
22 2
22
(, 1(, )
∂
ct
2Et 0,
r
(1)
x22 2 ; r = {x, y, z} – трехмерный âåê+
+
тор в пространстве; t – время; с – скорость света,
можно представить в виде разложения по плоским
волнам [10]:
Ex t d
(, , )=ω ω
ρκ κ
()
∫∫e
it
×ω κ– .
exp (2)
12
ix c
2
2
В (2) считается, что поле E распространяется вдоль
оси x; ρ = {ó, z} – вектор в поперечной к направлению
распространения плоскости; κ = {κy, κz} − двумерная
пространственная частота; ω – временная
частота;
QQx
0( , ) ( 0, , ) () ()κκ Pκ
ω= = ω = F
F(κ) и G(t), P(ω) связаны прямым и обратным
преобразованиями Фурье:
Exyz t, ) ρρG t Пары U0(ρ),
== =
(0 00
,
,
t
Fd i
()
κρκρ
=ρ
π
(2 ) ∫ U0( ) e ;
2
1
E ( , ) U ( )
( ).
(4)
5
ω
(3)
– пространственно-временной спектр напряженности
электрического поля Q(x, κ, ω) в начальной плоскости
x = 0, где поле задается в факторизованном виде
––i
e
d
Qκρ
0( , )ω Ч
Стр.1
() 1 ∫ e ( ).
Pd itt
ω= π
2
ω G t
(5)
Зададим начальное распределение когерентного
импульсного пучка гауссовым в пространстве и во
времени:
UU ik F
00 2
Gt G00
() exp – – ,
2
=ω (7)
T
i t
t
2
где a и F соответственно эффективный радиус и радиус
кривизны фазового фронта ïó÷êà; k = ω/c; T −
длительность импульса; ω0 – несущая частота.
Выполним интегрирование в (4), (5) с использованием
(6), (7) и подставим полученные таким образом
выражения для F(κ) и P(ω) в (3), а (3) в (2).
В результате получим
Ex t=ω ωω ×π
(– ) T
(,ρ, )
×κ ×
+Ω
1
1+Ω –∞
i F
x dκ κρi
–2 a2
(2 )
∞
∫
eexp – 21 ( )ix F
×κ
p ( – ) ,
ix k
ex 22 12
()
(8)
где Ω = ka2/x.
Путем прямой подстановки (8) в (1) и выполнения
соответствующих дифференцирований можно
убедиться, что (8) является решением уравнения (1).
При Т → ∞ часть подынтегрального выражения
в (8) можно аппроксимировать δ-функцией
2
T
π ( – )
ex (– )0ωω →δ ω ω0
2
p –
2
2
T
и получить выражение для напряженности электрического
поля непрерывного излучения на частоте ω0:
Ex
(, )
×κ
exp –
ρκκρ
=UG a e
00
ω0
2π Ч
1
+Ω
∫ d e
i
2–it
0
κ
+Ω exp ( – ) , (9)
2
22 122
0
21 ( )
a
ix F
0
где Ω0 = k0a2/x; k0 = ω0/c.
Если квадратная скобка в последней экспоненте
в (8) положительна, ò.å.
k >κ
22
,
(10)
то мы имеем бегущие волны, переносящие энергию
в положительном направлении оси x. При равенстве
этой скобки нулю переноса энергии вдоль оси x не
происходит, а при ее отрицательных значениях мы
получим неоднородные волны, экспоненциально затухающие
по мере удаления от плоскости x = 0 [10].
6
ρ=
Ix G Uρ =
(, )
1–
22
00
где ()
d axF + Ω
2
–2
0
a
ля ρρt получим
I(, ) ( , , )xEx
2
Из (12) для интенсивности электрического по=
12
ρρ
exp – ,
dd
22
ρ
(13)
– радиус гауссова
пучка непрерывного излучения на частоте ω0 в однородной
среде, определяемый по спаданию интенсивности
пучка в поперечной плоскости до уровня
Банах В.А., Герасимова Л.О.
ix k
x
F
–1 ∞
–i
–∞
где
a ka
g0
= x
0
;
Ω= Ω
F0 01– 1– .x
i
F
TU G a
32
22
00 –2
∞
–∞
∫ d e exp – 2
ω
0
it
∆= ∂∂
⊥
y22 – двумерный оператор Лапласа. Как
+
z
2
ρ = ρρ
() exp – – ;2
2a
22
(6)
Таким образом, с физической точки зрения представляют
интерес лишь результаты, которые получаются
при выполнении условия (10), означающего, что
вклад низких временных частот в интеграл (8) невелик.
Это позволяет разложить квадратную скобку
в последней экспоненте в (8) в ряд Тейлора и, считая
условие (10) выполненным, ограничиться двумя первыми
слагаемыми этого ряда. В результате приходим
к формуле
Ex t GU d e
–∞
00
∫
Ч
2 a ,
e
ex 1( ) –
ΩΩΩFg F
p –
ikx
(11)
2
ρΩxF i
где àg = x/(ka); ΩF = 1 – iΩ(1 – x/F), соответствующей
параболическому приближению волнового уравнения
[1, 10–12]:
2(, , )
ik Ex t E x t
∂ (,ρ, ) +∆ ⊥
∂x
+=
∂
kE(, , )– ( , , ) 0;ρρ (11.a)
ct
2
∂∂
22
и в случае полного волнового уравнения (1), можно
убедиться путем подстановки, что выражение (11)
удовлетворяет уравнению (11.а).
Для случая коллимированного пучка (x/F = 0)
формула (11) приведена в [4] и может быть ïîëó÷åíà,
как частный ñëó÷àé, из формул в работах [7, 8].
При Т → ∞ (11) переходит в хорошо известное выражение
для напряженности поля непрерывного излучения
на частоте ω0 в параболическом приближении:
Ex t GUi
(,ρ, )
=×
Ω
Ω0
Ч ex 1( ) – ,
p – ρΩ0
a
ΩΩ
0
2 gF
xF i
00
2
(12)
e
00
– ω+
i t ik x
F
00
0
x t
1 ∂2
22E x t
ρ
+
(,ρ, )=ω ωω0(– ) T
ω
T –2
i 2π ×
∞
it
Ωexp – 2
2
Стр.2
ного пучка «нулевой» длительности, зададим G(t)
в виде δ-импульса:
Gt GT t2
2 T
()
0 ––
0
π exp – e
2
2T2
и отнормируем его на 2,
=π
(, , )
этой нормировки для напряженности поля E(,ρ, )xt
Ex t T
(,ρ, ) ( 2 )
Ex t=ω Ωωi t
2πΩ∫ d exp – –
ρ ic
GU
00
Ч
– ΩΩ
exp 1( ) –
a
(14)
2
2 gF
xF i
ρΩ
.
дения пучка (x/F = 1) интегралы в (11) и (14) вычисляются
аналитически, и в [9] показано, что при
длительности импульса Т → 0 сфокусированный
в плоскость наблюдения пучок не испытывает дифракции,
его амплитуда в фокусе неограниченно
растет. В общем же случае произвольных соотношений
между радиусом кривизны фазового фронта
пучка F и длиной трассы x интегралы в (11) и (14)
аналитически вычислить невозможно. Более того,
с уменьшением длительности импульса интеграл
в (11) начинает плохо сходиться, а для δ-импульса
интеграл в (14) вообще расходится.
В случае сфокусированного в плоскость наблю2.
Асимптотический анализ
Рассмотрим интеграл в (14) более подробно.
Разобьем пределы интегрирования на три участка:
[–∞, –C], [–C, +C] и [C, ∞]. Константа C выбирается
òàêîé, чтобы параметр Ω = ka2/x = ωa2/cx
принимал значения Ω >> 1 при ω < –C и ω > C.
Тогда при условии x/F ≠ 1, Ω >> 1 (14) в области
интегрирования [C, ∞] можно представить в виде
Ex t=ρ ×
(,ρ, )
21–
GU
π
x
F
exp – (1– )
2
00
1
()
a x F
C ∫ exp – – –i
Ω
ρ1 2–1
F
ca F1– .(15)
Ex t=ω
( , , )ρ ac(16)
GF ∞
2
22 exp – – .
exp –
00
π C ∫d ωi t
1 ρ
x
2
∞
×ω ω tdi xx x
2
Откуда для коллимированного пучка (x/F = 0) получаем
из
(11) имеем
∞
–∞ F
Ч
x
it
πT чтобы спектр Ð(ω)
представлял собой ненулевое равномерное распределение
во всей полосе частот ω= π 0
PG С учетом
=
() 1 .
2
π ωω
==π
00
2 G T tδ()e ,
it
е–1, или, иными словами, дифракционный радиус
пучка [11, 12].
Чтобы получить выражение для поля импульсТо
есть интегрирование по области высоких положительных
частот показывает, что дифракционного
расплывания δ-импульса коллимированного пучка не
происходит, он сохраняет свой начальный размер.
Это легко видеть, если отнормировать в (16) ампли
туду
E(, , )xt
ρ на ее значение на оси пучка при ρ = 0.
Точно такой же результат получается при интегрировании
по области [–∞, –C].
Из (15) следует, что и при произвольных соотношениях
между радиусом кривизны волнового
фронта пучка F и длиной трассы x интегрирование
по областям [–∞, –C] и [C, ∞] приводит к таким же
результатам, что и для коллимированного пучка:
дифракционного расплывания пучка не происходит,
его размеры на расстоянии x полностью определяются
геометрией распространения (отношением x/F)
и начальным радиусом a. Нормированная амплитуда
в этом случае определяется выражением
Ex Ex t(, , )
N(,ρ,t)
Ex t
ρ
==
(,0, )
=ρ ()
const exp – (1– ) ,
2
2
1 axF
E(, , )xt
(17)
поскольку интегральные сомножители в выражениях
для
ρ и E(,0, )xt имеют один и тот же порядок
стремления к бесконечности и их отношение
дает константу. Остается вычислить интеграл (14)
в пределах [–C, C], чтобы сделать заключение о дифракции
широкополосных δ-импульсных пучков.
На рис. 1 представлены результаты расчета нормированной
амплитуды поля EN(x, ρ, t) на основе
формулы (14) с интегрированием от –C до С при
t = x/c и x/F = –1, x/F = 2.
Значение С задавалoсь равным 10. Для наглядности
изображены распределения нормированных
амплитуд и их огибающие (рис. 1). Из результатов
расчета следует, что огибающие нормированных амплитуд
поля EN убывают в поперечной плоскости до
уровня e–1 (äî 0,3679 по оси îðäèíàò) на расстояабсцисс)
при x/F = –1 и ρ= 2 (1,4142 по оси
ниях от оси ïó÷êà, равных ρ=22a
a
àáñöèññ) при x/F = 2 соответственно.
Точно такие же результаты следуют из формулы
(17), определяющей нормированную амплитуду
ния в плоскость наблюдения x/F = 1 [9], так и при
произвольных соотношениях между радиусом кривизны
волнового фронта и длиной трассы (x/F ≠ 1)
дифракции широкополосных δ-импульсных пучков
не происходит.
Ниже представлены результаты численных располя
EN(x, ρ, t) в отсутствие дифракции. То есть
и численное оценивание интеграла (14) в пределах
[–C, C] показывает, что дифракционное расплывание
δ-импульсного пучка отсутствует.
Таким образом, как при фокусировке излучечетов
по формулам (8) и (11) нормированной интенсивности
поля гауссовых пучков импульсного
Распространение широкополосных световых пучков
7
(2,8320 по оси
Стр.3