Избранные главы высшей математики для специалистов и бакалавров технологических направлений. В 2 ч. Ч. 1 (190,00 руб.)

Стр.2

Стр.160

Стр.161

Стр.162

УДК 51(075) ББК 22.11я Х98 Печатается по решению редакционно-издательского совета Казанского национального исследовательского технологического университета Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. Е. А. Турилова канд. физ.-мат. наук, доц. О. Н. Тюленева Х98 Хузиахметова Р. Н. Избранные главы высшей математики для специалистов и бакалавров технологических направлений : в 2 ч. Ч. 1 : учебно-методическое пособие / Р. Н. Хузиахметова, О. М. Дегтярева, А. Р. Хузиахметова; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2019. – 164 с. ISBN 978-5-7882-2751-1 ISBN 978-5-7882-2752-8 (ч. 1) Содержание первой части включает следующие разделы высшей математики: криволинейные интегралы, теория поля, степенные и функциональные ряды. В каждом разделе приведены необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы студентов, варианты контрольных работ. Предназначено для студентов технических и технологических специальностей, для которых эти разделы входят в программу изучения курса высшей математики. Подготовлено на кафедре высшей математики. УДК 51(075) ББК 22.11я ISBN 978-5-7882-2752-8 (ч. 1) ISBN 978-5-7882-2751-1 © Хузиахметова Р. Н., Дегтярева О. М., Хузиахметова А. Р., 2019 © Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2019 2

Стр.2

СОДЕРЖАНИЕ Введение .................................................................................................... 3 I. Криволинейный интеграл II рода..................................................... 4 1.1. Определение криволинейного интеграла II рода ............................ 4 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 11 Ответы .............................................................................................. 12 1.2. Формула Грина ................................................................................. 13 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 16 Ответы .............................................................................................. 17 1.3. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу ....................................................... 18 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 23 Ответы .............................................................................................. 24 1.4. Уравнения в полных дифференциалах .......................................... 24 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 25 Ответы .............................................................................................. 26 1.5. Вычисление площади ...................................................................... 27 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 28 Ответы .............................................................................................. 29 Дополнительные вопросы ....................................................................... 29 Варианты контрольной работы по теме «Криволинейные интегралы» .............................................................................................. 32 II. Элементы теории поля .................................................................... 35 2.1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня ............................. 35 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 38 Ответы .............................................................................................. 40 2.2. Векторное поле. Векторные линии ................................................ 41 Задачи для самостоятельного решения ...................................................... 44 Ответы ...................................................................................................... 45 160

Стр.160

2.3. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона ....................................................................................... 46 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 47 Ответы .............................................................................................. 49 2.4. Поток векторного поля .................................................................... 50 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 59 Ответы .............................................................................................. 60 2.5. Циркуляция векторного поля ......................................................... 61 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 69 Ответы .............................................................................................. 71 2.6. Потенциальные и соленоидальные поля ....................................... 73 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 74 Ответы .............................................................................................. 75 Дополнительные вопросы ....................................................................... 75 III. Числовые и функциональные ряды ............................................ 78 3.1. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов ............. 78 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 80 Ответы .............................................................................................. 83 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.......................................................................................................... 87 1) Первый признак сравнения ................................................................ 87 2) Второй признак сравнения ................................................................. 87 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 88 Ответы .............................................................................................. 90 3) Признак Даламбера ........................................................................... 92 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 93 Ответы .............................................................................................. 94 4) Интегральный признак Коши ............................................................ 95 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 96 Ответы .............................................................................................. 97 5) Радикальный признак Коши .............................................................. 98 Задачи для самостоятельного решения .............................................. 99 Ответы .............................................................................................. 99 Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница ................... 100 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.......... 100 Задачи для самостоятельного решения ............................................ 103 Ответы ............................................................................................ 104 161

Стр.161

Смешанные задачи ........................................................................... 104 Ответы ............................................................................................ 108 Дополнительные вопросы ..................................................................... 110 3.2. Функциональные и степенные ряды ............................................ 112 Задачи для самостоятельного решения ............................................ 115 Ответы ............................................................................................ 117 3.3. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ................................................................................... 118 Задачи для самостоятельного решения ............................................ 122 Ответы ............................................................................................ 124 3.4. Приближенное вычисление значений функций с помощью степенных рядов............................................................................. 128 Задачи для самостоятельного решения ............................................ 130 Ответы ............................................................................................ 131 3.5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов ...................................................................................... 132 Задачи для самостоятельного решения ............................................ 134 Ответы ............................................................................................ 135 3.6. Приближенное решение дифференциальных уравнений .......... 136 Задачи для самостоятельного решения ............................................ 137 Ответы ............................................................................................ 137 3.7. Ряды Фурье ..................................................................................... 138 Условия сходимости ряда Фурье ......................................................... 139 Ряд Фурье для четных и нечетных функций....................................... 139 Ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке .......... 140 Задачи для самостоятельного решения ............................................ 148 Дополнительные задания .................................................................. 151 Ответы ............................................................................................ 152 Варианты контрольной работы по теме «Числовые и функциональные ряды» ...................................................................... 156 Список литературы ............................................................................. 159 162

Стр.162