МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Учебно-методическое пособие
Составители:
Л.В. Безручкина,
П.В. Садчиков
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2019
Стр.1
самостоятельной работы студентов,
Методические указания предназначены для активизации
изучающих разделы «Частные
производные функции нескольких переменных» учебной дисциплины
курсов Б1.Б.5 Математика, Б1.Б.6 Математика и Б.1.Б.10 Математика.
Разработка содержит учебный материал практических занятий, темой
которых является техника вычисления примеров по темам: «Частные
производные функции нескольких переменных»
Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного
изучения материала и является базой для подготовки к семестровым
зачетам и аттестациям по курсам Б1.Б.5 Математика, Б1.Б.6 Математика и
Б.1.Б.10 Математика.
Определение функции нескольких переменных
Во многих вопросах геометрии, естествознания и пр. дисциплин
приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных.
Примеры: 1. Площадь треугольника
S a h , где a – основание, а
1
2
h – высота ( S , a h – функция двух переменных).
длина, ширина и высота соответственно ( V ,, x y z – функция от трех
2. Объем прямоугольного параллелепипеда V x y z
, где ,xy и z –
переменных).
Определение. Переменная z называется функцией двух переменных
2
соответствует единственное число z .
Обозначения:
z f x y z F x y z z x y и т.д.
; ,
; ,
;
переменными, а z – зависимой переменной или функцией.
Множество D всех точек
z f x y
значений функции.
Каждой тройке
При этом x и y называются аргументами или независимыми
xy; , при которых z f x y
; имеет
смысл, называется областью определения, а множество значений z ,
принимаемых функцией
; при x; y D , называется множеством
x,, y z в пространстве Oxyz соответствует точка
z f x y z f M . Областью
, ,
( )
M ,, x y z . Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать
определение функции трех переменных:
определения функции трех переменных будет все пространство или его
часть.
3
x и y , если каждой упорядоченной паре xy; значений двух независимых
друг от друга переменных величин x и y из некоторой области D
Стр.3
0
x
y
Определение. Частными производными функции z f x y
z M z M z M f x x y f x y
z M z M z M f x y y f x y
0
0
1
2
0 0
0
0
,
0 0
,
z M
//0M
xy,xxlim
00
00
xyz M
.
x
lim y M0
Определение. Частным дифференциалом функции z f x y
0
дифференциалы имеют вид d z M z M x d z M z M y
, в точке
d z M и
x
x
0
0
dz M , то
функции
0
z M dz M x, y
порядка малости, чем xy , т.е. lim
00
dz M z M x z M yxy 0
в точке
, где xy, бесконечно малого большего
.
0
0
0
22
xy
,
x
y
0
0
0
Если полное приращение функции можно так представить, то
функция имеет полный дифференциал и ее называют дифференцируемой в
точке, т.е. дифференциал функции есть бесконечно малая величина
относительно бесконечных малых x и y , эквивалентная полному
приращению функции.
Теорема (необходимое и достаточное условие дифференцируемости).
Функция z f x y
, дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда
она имеет в этой точке непрерывные частные производные.
Замечания.
1) xy
z
2) xy z
dz d z d z
z
Определение. Полным дифференциалом функции z f x y
// .
0 ;
y
0 y
0
M называется главная часть полного приращения функции, линейная
относительно x и y , причем если функция имеет полный дифференциал
// . Тогда полное приращение
M можно представить в виде
d z M . Легко показать, что частные
0 x
y
0
0 0
0 0
, ,
, .
, в точке
M по переменным x или y называют пределы отношения частного
приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда
последнее стремится к нулю и обозначаются:
изменения функции в точке 0
Механический смысл частных производных – мгновенная скорость
M в направлении оси Ox или Oy .
, в точке
M по x или y называется главная часть частного приращения функции
по x или y , линейная относительно x или y . Обозначаются частные
дифференциалы
6
Стр.6
M0 1;2 функции z 23xy x y
z M z M z M x 4 2 1
x
0
xx;00 6;
/
z M z M z M0 12
2
6 x d z M z M
y
07 ;y z M0 7;
2
7 y y
7 y y
( )
dz M x y
образом:
0 67
для независимых переменных
дифференциал имеет вид //
f x y
/
x
x dx y dy
;
Замечание. Частные производные можно обозначить следующим
z zz f x y .
x
x
/
x ; ;;; z f x y
/
dz z dx z dy .
f x y
xy
y y ;
/
y
y
Правило нахождения частных производных
Чтобы найти частную производную по одной из переменных x или
y, необходимо вторую переменную y или x зафиксировать (т.е. считать
постоянной) и находить производную как от функции одной переменной x
или y , пользуясь таблицей и правилами нахождения производной для
функции одной переменной.
4
z x y x y
2
3 5 7
Пример. Найти частные производные по x и y для функции
2 3
и полный дифференциал.
Решение. (Такая формулировка, как правило, подразумевает
нахождение частных производных первого порядка). В первую очередь
найдем частную производную по x (переменную y считаем постоянной):
2 3
zx 2x y x y
/
x считается постоянной).
2 3
y
4
3 5 7 2y x
/
3 2
x
4
x 3
/
x
4
/
x
0 0 4 12x .
xy
// /
2 3
0 5 y
7
z 2x y x y yy y
/
3
3
Аналогично находим частную производную по y (тогда переменная
3 5 7 2x y .
2 2
0 6x y
5
, тогда полный
0
y
y
/
22
z z M z M x 2
6 4
x x y x y
y
0 12
2
2 1
x
y
0
0
x
3
7 6 ;
y x
y
2
1 2
y
2 1 3 1
y
1
1
Пример. Найти частные приращения, полное приращение, частные
.
2
, тогда
Решение. Возьмем точки M 1 ;2 ;121;2 ; 1 ;2
x
6 4 2 6
x M y M x y
0
дифференциалы, полный дифференциал, частные производные в точке
Стр.7
Тогда полный дифференциал
dz xy4 12x dx x y dy .
3
z ln x y и полный дифференциал.
Решение.
2
z
/
x
x
z
/
lnx y
2
x
/
y
lnx y
2
/
1
x y
1
x y
Полный дифференциал:
z x y y
Решение.
34
sin
xy z x y y
/
zzz
2
3 sin ,
x y
z arctg
y
.
или xy cos 4
или
/
3
3
.
Пример. Найти частные производные первого порядка функции
x
Решение. 22 2
1 1
.
z
x
11
z f x y
xx y
yy
y y
;
Производные и дифференциал сложной функции
Пусть
x t y t( )
( ),
Тогда ,xy , а, следовательно, и z получат свои приращения и z . В
// ,,
d ,x dy
dt dt
xy,
силу достаточного условия дифференцируемости
откуда xy f x y t
z f x y x f x y y x y ,
z // ,,
xy
x
Устремим теперь t к нулю. Тогда x и y будут стремиться к
нулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположили
t
f x y
y
. t
y
t
x
t
будет функцией одной переменной t . Предположим, что //
и
, , где . Тогда в конечном итоге z
zz непрерывны
xy,
существуют. Найдем dz
dt . Дадим переменной t приращение t .
z
1
x
3
6
2
2
2
2
x y
x y
/
y
dz dx ydy
xy
2
2
/
x
2 2
5
Пример. Найти частные производные по x и y для функции
1
x y
1
x y
.
2
0 2
1 0
y
1
x y
2
2 ;
2y
x y
2 .
Пример. Найти частные производные первого порядка функции
8
Стр.8
существование производных /
нулю. В пределе мы получим
t
dt
или, короче
dz dz dx dz dy
dt dx dt dy dt
Найти
частные
z x x
y , arctg , sin .
1
Решение. / yy
/
t y t
x
z y x z x x xt
/
,
Тогда
dz y x
dt
t
yy
2
1
arctg
x x t
1 t
1
sin arctgt
sin t
sin 1
arctg ln arctg cost
tt
1
1 t
1 arctg
2
sin
2
t
ttt
tt
sin
cos ln arctgt
Производная функции, заданной неявно
Если уравнение, с помощью которого задается функция одной
переменной x , не разрешено относительно y , то эта функция называется
неявной. Разрешая это уравнение относительно y , мы получаем ту же
функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что
разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например,
2
2 2 yx ) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и
y
1 0
оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены
в левую часть):
F( , ) 0x y
неявной функции, не разрешая уравнение ( , ) 0
F( , ) 0.
F ,0
x y x и
dF 0 . Отсюда //
В связи с этим возникает вопрос о том, как найти производную
F x y относительно y .
Рассмотрим функцию одной переменной, заданную неявно
x y Подставим зависимость ()
F dx F dyxy 0
получили формулу для производной функции ()
yx в уравнение F( , ) 0x y . Тогда
. Таким образом,
yx , заданной неявно:
ln cos
t
y ln ,
1
1 t
2 ,
yt cos .
/
t
( * )
Формула (*) называется формулой производной сложной функции.
Пример.
производные функции
x и /
t
f x y dt
dz // ,,f x yxy ,
dz
dt
y ), а потому и будут стремиться к
dy
9
Стр.9
F x y
dy
dx F x y
/
/
x
y
dx F x y
dy F x y
/
/
y
x
e x y
xy
,
,
условий /
( , )
( , )
. Аналогично получаем производную для
. Для существования dy
dx
F или /
x 0
F .
y 0
. Найти dy
dx .
согласно формуле
Пример. Пусть y как функция от x задана соотношением
0
Решение. Для ( , ) имеем // xy
xy
dy
dx F x y
F x y
/
/
x
y
x a t y a t sin
cos ,
F x y e x y xyF ye F xe
xy
xy
( , )
( , )
имеем
1. Найти производную dz
dt
2. Найти dz
dt , если 53
2
z x xy y
x 1, 2, 2
y
z
dx xe
1
dy
Примеры для самостоятельного решения
функции
t y
ze
и t
x cos2 , arctg
функции z аргументов x и y , заданной уравнением 2
3. Найти полный дифференциал и частные производные неявной
в точке
x y z
2
2
9
Частные производные высших порядков
Частные производные функции нескольких переменных сами
являются функциями этих переменных и могут иметь частные
производные. Для исходной функции эти последние производные будут
частными производными второго порядка. Так, для функции
z f x y
которые обозначаются символами:
2
z
//
xx 22 xy
z
x
,
z
//
yy
Частные производные
и старших порядков.
10
y
z
,
z
//
xy
и
z
2
//
z
2
x y
z , отличающиеся порядком
//
yx
дифференцирования, называются смешанными частными производными
второго порядка.
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого
,
z
//
yx
.
z
2
y x
,
двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все
производные существуют) четыре частные производные второго порядка,
22
xy
, если
1,
ye
xy
1
и
.
1
или dx
dy
xy :
()
необходимо выполнение
Стр.10