Основы стохастического анализа (247,00 руб.)

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. Б. Рохлин ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Учебное пособие Ростов‐на‐Дону –Таганрог Издательство Южного федерального университета 2019

Стр.2

УДК 519.216(075.8) ББК 22.171 я 73 Р79 Печатается по решению кафедры высшей математики и исследования операций Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета (протокол №7 от 12 марта 2019 г.) Рецензенты: доктор технический наук, профессор А. Б. Усов; доктор физико‐математических наук, профессор И. В. Павлов Р79 Рохлин, Д. Б. Основы стохастического анализа : учебное пособие / Д. Б. Рохлин ; Южный Федеральный университет. – Ростов‐на‐Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2019. – 190 с. ISBN 978‐5‐9275‐3132‐5 В данном пособии, которое является кратким введением в стохастический анализ, отражены основы современной теории вероятностей, теории мартингалов и марковских процессов, стохастического исчисления, а также рассмотрена модель Блэка‐Шоулза. Публикуется в авторской редакции. УДК 519.216(075.8) ББК 22.171 я 73 ISBN 978‐5‐9275‐3132‐5 © Южный федеральный университет, 2019 © Рохлин Д. Б., 2019

Стр.3

Оглавление Введение Список обозначений 1 Основы современной теории вероятностей 5 8 10 Ÿ 1.1 Модель вероятностного эксперимента, условные вероятности . . . . . . 10 Ÿ 1.2 Случайные величины, интегрирование, характеристические функции . 15 Ÿ 1.3 Сходимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ÿ 1.4 Условное математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ÿ 1.5 Метод Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ÿ 1.6 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 Мартингалы и марковские процессы 50 Ÿ 2.1 Мартингалы с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Ÿ 2.2 Мартингалы с непрерывным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ÿ 2.3 Марковские ïðîöåññû: общие определения . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Ÿ 2.4 Фундаментальное уравнение для марковских процессов с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ÿ 2.5 Броуновское движение и гармонические функции . . . . . . . . . . . . . 102 Ÿ 2.6 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3 Стохастическое исчисление 112 Ÿ 3.1 Процессы ограниченной вариации и семимартингалы . . . . . . . . . . . 113 Ÿ 3.2 Конструкция и свойства стохастического интеграла . . . . . . . . . . . 118 Ÿ 3.3 Квадратическая вариация и квадратическая ковариация . . . . . . . . . 124 Ÿ 3.4 Расширение класса интеграндов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Ÿ 3.5 Формула Ито . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Ÿ 3.6 Вероятностные представления решений уравнений Пуассона и теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Ÿ 3.7 Стохастические дифференциальные уравнения, стохастическая экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3

Стр.4

4 Оглавление Ÿ 3.8 Вероятностные представления решений параболических уравнений с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Ÿ 3.9 Теорема Гирсанова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Ÿ 3.10 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4 Модель Блэка-Шоулза 162 Ÿ 4.1 Самофинансируемые портфели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Ÿ 4.2 Арбитраж и мартингальные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Ÿ 4.3 Цены европейских опционов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Ÿ 4.4 Оптимальное инвестирование: мартингальный подход . . . . . . . . . . 175 Ÿ 4.5 Оптимальное инвестирование: уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана 180 Ÿ 4.6 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Литература 186

Стр.5