МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Учебно-методическое пособие
Составители:
Е.В. Невежин, Г.В. Быкадорова,
А.Н. Цоцорин
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2017
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ................................................................................................................. 4
1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ............................ 5
2. СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ И
РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ .................................................................................. 9
3. ВЕКТОРНОЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ...................................................... 17
4. ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ ........................................................................................... 24
5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ RLC-ЦЕПЕЙ ......................................................... 28
6. СИМВОЛИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ ........................................................................................... 39
6.1. Операции над комплексными изображениями ................................. 40
6.2. Комплексные сопротивления и проводимости ................................. 41
6.3. Методы символического анализа ....................................................... 42
6.3.1. Цепи с параллельным и последовательным соединениями
элементов ......................................................................................... 44
6.3.2. Цепи со смешанным соединением элементов ................... 47
6.3.3. Цепи произвольной конфигурации. Метод узловых
напряжений ...................................................................................... 49
6.3.4. Частотные характеристики электрических цепей ............. 54
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................ 61
3
Стр.3
пассивные двухполюсники вводятся в схему вместе с полярностью напряжения
на их выводах и связанным с ней направлением тока.
а)
б)
Рис. 1. Идеальные источники:
а – идеальный источник напряжения; б - идеальный источник тока
Резистор R (рис. 2) – элемент, потребляющий электрическую энергию.
Рис. 2. Резистор
Как элемент электрической цепи он описывается законом Ома:
u( t ) Ri( t )
,
R
G 1 ,
называемая проводимостью, измеряется в сименсах (См).
Энергия, потребляемая (рассеиваемая) резистором за время τ, определяется
так:
W P( t )dt ,
0
R
(1.2)
где P(t)–мгновенная мощность, выделяемая элементом в момент времени t.
6
(1.1)
и характеризуется величиной сопротивления R, измеряемой в омах (Ом).
Обратная сопротивлению величина
Стр.6
Определение 1.3. Мгновенная мощность P t u t i t – произведение мгновенных
значений напряжения u(t) и тока i(t).
( ) ( ) ( )
Конденсатор C (рис. 3) – двухполюсник, способный накапливать
электрическую энергию, которая заключается в его электрическом поле. Из
определения электрической емкости как физической величины следует, что
заряд q(t), накопленный конденсатором, пропорционален напряжению на
его выводах [1]:
q t Cu t( ).
( )
Рис. 3. Конденсатор
Дифференцируя это равенство по времени, получим соотношение между
током и напряжением:
i( t ) C du( t )
dt
(1.3)
– ток, протекающий через выводы конденсатора, пропорционален скорости
изменения напряжения на этих выводах.
Энергию, запасенную конденсатором, заряженным до напряжения U
за время 0 … τ можно найти через мгновенную мощность:
W u( t )i( t )dt u( t )C du( t )
dt
C
0
0
dt C udu CU
2
U
0
2
.
(1.4)
Емкость измеряется в фарадах (Ф). Из (1.3) следует, что эту единицу можно
выразить так: 1 Ф = 1 с/Ом.
7
Стр.7
Индуктивность L (рис. 4) способна накапливать энергию, сосредоточенную
в ее магнитном поле.
Рис. 4. Индуктивность
Как элемент электрической цепи индуктивность связывает ток i(t), протекающий
через нее, с ее потокосцеплением
( t ) :
( t ) Li( t ).
Поскольку э.д.с. самоиндукции eинд, формируемая индуктивностью, пропорциональна
скорости изменения потокосцепления [1], падение напряжения
на ней будет пропорционально скорости изменения тока:
u( t ) L di( t )
dt
откуда
L
i( t ) 1
t
u( t )dt .
(1.5б)
Для вычисления энергии индуктивности с током величиной I можно воспользоваться
подходом, показанным в (1.4):
W u( t )i( t )dt i( t )L di( t )
0
L
0
dt
dt C idi
0
I
LI
2
2
.
(1.6)
Индуктивность измеряется в генри (Гн). Из (1.5) следует, что 1 Гн = 1 Ом∙с.
,
(1.5а)
8
Стр.8
2. СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ
Синусоидальные (гармонические) напряжения и токи занимают особое
место среди прочих видов воздействия на электрические цепи по ряду
причин:
производство и транспортировка электрической энергии в промышленных
масштабах осуществляется переменными токами синусоидальной
формы, что связано, в первую очередь, с принципами ее генерации;
в практике исследования и проектирования электро- и радиотехнических
устройств широко используется возможность представления как
периодических, так и непериодических напряжений и токов произвольной
формы суммой ряда синусоид с определенным образом вычисленными
коэффициентами;
с синусоидальным напряжением связано понятие «несущего» сигнала,
широко используемого для передачи информации, радио- и телевещания;
напряжение с формой синуса широко используется для изучения
свойств электрических цепей и электронных устройств.
На рис. 2.1 приведено синусоидальное напряжение как функция времени.
Его характерные параметры:
амплитуда mU – максимальное значение напряжения, измеряется в
вольтах (В);
период – интервал времени T T T T ,
2
3
1 через который значения
напряжения повторяются. Это означает, что функция
u( t ) u( t T )
является периодической. Период измеряется в секундах (с).
(2.1)
9
Стр.9
Для формального описания этой зависимости нужно иметь в виду, что
аргументом синусоидальной функции должна быть безразмерная величина,
задающая величину угла:
u( t ) U sinm
где( t ) – мгновенное значение угла.
( t ),
Рис. 5. Синусоидальное напряжение как функция времени
Для того чтобы выполнялось (2.1), ( t )может быть линейной функцией
времени, например,
0
( t )
где 0 – значение, которое принимает
t
m
,
u( t ) U ins ( t
0
( t ) при t = 0. Таким образом,
).
(2.2)
(2.3)
На рис. 6 приведены два синусоидальных напряжения с различными
значениями 0 . Аналогично выглядит зависимость синусоидального тока.
Для представления синусоиды в форме (2.3) доопределим ее наиболее
важные параметры.
Определение 2.1.
0 – начальная фаза напряжения (тока) – значение
( t )при t = 0, измеряется в радианах (рад), реже в градусах (град).
Определение 2.2. ω – угловая частота, ее можно понимать как скорость изменения
фазы (см. 2.2):
10
Стр.10