Проекционно-вариационные методы в прикладных задачах (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.И. Смагина ПРОЕКЦИОННО-ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ Учебное пособие Воронеж 2016

Стр.1

Проекционно-вариационные методы в прикладных задачах Введение. Математические модели содержательных прикладных задач могут быть различными (краевые или начальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральные и алгебраические уравнения и т.п.). Методы функционального анализа позволяют рассматривать их как операторные уравнения в соответствующих функциональных пространствах и, следовательно, исследовать эти модели с единых позиций. По существу, любая задача, для которой можно выписать определяющие уравнения, может быть исследована и решена с помощью одной из разновидностей метода моментов либо вариационных методов, которые и изучаются в настоящем пособии. Изложение материала имеет трёхуровневую структуру. Первый, поверхностный, уровень содержит расчётные формулы конкретных методов для нахождения приближённых решений абстрактных уравнений. Второй, более глубокий, уровень позволяет исследовать сходимость приближённых решений к точному. На третьем уровне выясняются условия устойчивости вычислительных схем. Необходимые для усвоения курса основы функционального анализа даются в главе I, а также в случае необходимости, в начале других глав. Пособие содержит подборку задач, которые предлагаются для решения на практических занятиях. Подробно разбираются примеры решения некоторых из них. Сведения о пространстввах Лебега вынесены в приложение I. В приложении II приведён алгоритм выполнения лабораторной работы, а в приложении III дан образец оформления лабораторной работы. Для удобства пользования пособием конец доказательства утверждений отмечается значком . В списке литературы приводятся использованные при написании данного пособия источники [1 – 7]. Ониже рекомендуются для самостоятельного более глубокого изучения предмета. Глава I. Гильбертовы пространства и линейные операторы 1.1. Гильбертовы пространства. Векторное пространство H над полем комплексных чисел называется предгильбертовым, если для любых x, y ∈ H определено число (x, y), называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы: 1)(x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0, 2) (x, y) = (y, x), 3) (αx, y) = α(x, y), 3

Стр.3

Теорема 1.1 (о разложении гильбертова пространства в прямую сумму двух подпространств). Пусть L - подпространство в гильбертовом пространстве H. Тогда любой элемент x ∈ H представим единственным образом в виде x = y +z, где y ∈ L, z⊥L. (1.2) При этом говорят, что y есть проекция элемента x на подпространство L и обозначают y = PrLx. Теорема 1.2 (о проекции на конечномерное подпространство). Пусть L = L(e1, ..., en)– подпространство в H, где e1, ..., en – ортонормированный базис в L. Тогда ортогональная проекция элемента x ∈ H на подпространство L имеет вид PrLx =  k=1 n (x, ek)ek. Упражнения 1. Вычислить скалярное произведение (x, y) в L2[0, π], если: a) x = cos t, y = sin2 t; b) x = t, y = et; c) x = t3, y = t2. Вычислить x. 2. Вычислить x для x ∈ C[0, 1], если: a) x = cos t; b) x = 2t2; c) x = et. 3. Найти проекцию в L2[0, 1] элемента x = et на подпространство многочленов степени 2. 4. Проверить, что система функций {e2int, n ∈ Z} образует ортогональную систему в комплексном пространстве L2[0, 1]. 5. Проверить, что система функций 1, cos πnt, sin πnt, n ∈ N, образует ортогональную систему в пространстве L2[−1, 1]. 1.2. Линейные операторы. Пусть (X, ·X) и (Y, ·Y ) - линейные нормированные пространства над одним и тем же полем чисел K = {R,C}. Пусть существует оператор (отображение) A : D(A) ⊂ X → Y , ставящий в соответствие элементу x ∈ D(A) единственный элемент y ∈ Y . Множество D(A) ⊂ X называется областью определения оператора A. Множество элементов вида R(A) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ D(A)} называется областью значений оператора A. Говорят, что элемент y является образом элемента x, а элемент x - прообразом элемента y. Оператор A : D(A) ⊂ X →Y называется линейным, если: 1) D(A) - линейное пространство; 6

Стр.6

α, β ∈ K. такая константа M > 0, что для всех x ∈ X AxY ≤MxX. 2) A(αx1+βx2) = αAx1+βAx2 для всех x1, x2 ∈ D(A) и любых скаляров Линейный оператор A : X →Y называют ограниченным, если существует (1.3) Нормой A оператора A называют наименьшую из констант M, для которых выполнено условие (1.3). Замечание 1.2. Если для всех x ∈ X выполнено неравенство (1.3) и существует элемент x0 такой, что Ax0 =Mx0, то A =M. Имеют место равенства A = sup x=0 AxY xX = sup xX≤1 AxY = sup xX=1 AxY . Замечание 1.3. Пусть X = Rn - гильбертово пространство из примера 1 и A - самосопряжённая положительно определённая матрица. Тогда её собственные числа вещественные, положительные и могут быть занумерованы в порядке неубывания 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn. Можно показать, что A = λn. Оператор A : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если Ax−Ax0Y →0 при x−x0X →0. Если линейный оператор непрерывен в одной точке, то он непрерывен во всех точках пространства и называется просто непрерывным. Для линейных операторов непрерывность и ограниченность эквивалентны. Оператор ортогонального проектирования. Пусть X = Y = H – гильбертово пространство и L ⊂ H – подпространство в нём. По теореме 1.1 любой элемент x ∈ H единственным образом можно представить в виде (1.2), т.е. x = y +z, где y ∈ L, z⊥L. H называется отображение P : H → L, ставящее в соответствие элементу x его ортогональную проекцию, т.е. ортопроектор определяется соотношением Px = y, где y = PrLx. Отметим некоторые свойства ортопроектора P 1. P - линейный ограниченный оператор и P = 1; 2. Py = y для y ∈ L; 3. P2 = P; 4. P - самосопряжённый оператор, т.е. (Px1, x2) = (x1,Px2). 7 Ортогональным проектором (ортопроектором) на подпространство L ⊂

Стр.7

Обратный оператор. Пусть линейный оператор A : D(A) ⊂ X → Y переводит D(A) в R(A) взаимнооднозначно. Тогда существует обратный оператор A−1 : R(A) → D(A), действующий по правилу A−1y = x, где y и x связаны соотношением y = Ax. Оператор A−1 также является линейным. Теорема 1.3. Оператор A переводит D(A) в R(A) взаимнооднозначно тогда и только тогда, когда его ядро KerA = {x ∈ D(A) : Ax = 0} состоит только из нулевого элемента. Обратный к линейному ограниченному оператору может не быть ограниченным оператором. Говорят, что линейный оператор A непрерывно обратим, если R(A) = Y, оператор A обратим и A−1 является ограниченным оператором. Теорема 1.4 (Банаха). Если A – линейный ограниченный оператор, отображающий взаимнооднозначно банахово пространство X на банахово пространство Y , то обратный оператор A−1 ограничен. Иными словами, оператор A непрерывно обратим, если выполнены два условия: 1) KerA = {0} и 2) R(A) = Y . С точки зрения разрешимости уравнения Ax = y непрерывная обратимость оператора A означает, что это уравнение имеет единственное решение x = A−1y для любой правой части y ∈ Y . Замечание 1.4. Если существует линейный ограниченный оператор B такой, что BA = AB = I, то B = A−1. Теорема 1.5. Если A – линейный ограниченный оператор и A = q < 1, то оператор I −A непрерывно обратим, причём (I −A)−1 =  k=1 ∞ и справедлива оценка (I −A)−1 ≤ (1−q)−1. (1.5) вается Ak ≤ qk через общий член сходящегося ряда. Обозначим через B сумму этого ряда: B =∞ B(I −A) =  k=1 ∞  k=1 ∞ (I −A)Ak = I. Доказательство. Ряд в (1.4) сходится, так как его общий член оцениk=1Ak. Легко проверить, что Ak(I −A) = I, (I −A)B = Т.о., B = (I −A)−1. Наконец, (I −A)−1 ≤  k=1 ∞ Ak ≤ 8  k=1 ∞ qk = (1−q)−1. Ak (1.4)

Стр.8

Ряд (1.4) называется рядом Неймана. Пример 1. Пусть ϕ - непрерывная на отрезке [a, b] функция. Рассмотрим отображение A : C[a, b]→C[a, b], определяемое соотношением (Ax)(t) = ϕ(t)x(t). Доказать, что A - линейный ограниченный оператор и найти его норму. Решение. Линейность оператора следует из соотношения (A(αx+βy))(t) = ϕ(t)(αx(t)+βy(t)) = α(Ax)(t)+β(Ay)(t). Покажем, что A - ограниченный оператор. Имеем AxC = max t∈[a,b] |(Ax)(t)| = max t∈[a,b] |ϕ(t)x(t)| ≤ ϕCxC, поэтому AC ≤ ϕC. Докажем, что A = ϕC. Рассмотрим функцию x0(t) ≡ 1. Очевидно, что x0C = 1 и Ax0C = max  1 0 t2sx(s) ds если: a) A : C[0, 1]→C[0, 1], b) A : L2[0, 1]→C[0, 1]. Решение. В случае а) имеем оценку AxC = max t∈[0,1]      t2  1 0 sx(s) ds ≤       1 0 s|x(s)| ds ≤ Пример 2. Доказать ограниченность и найти норму оператора (Ax)(t) = t∈[a,b] |ϕ(t)| = ϕC. Таким образом, A = ϕC. 1 2xC. ство Ax0C = x0C/2 и поэтому A = 1/2. В случае b) заметим, что если x ∈ L2[a, b], то x ∈ L1[a, b] и Ax(t) - непреСледовательно, A ≤ 1/2. Очевидно, что для x0(t) ≡ 1 выполнено равенрывная функция. Установим оценку (1.3). Пользуясь неравенством Шварца, получаем AxC =       1 0 sx(s) ds ≤       1 0  1 0 s2 ds 1/2 xL2 ≤ √3xL2 1 . ется, когда сомножители линейно зависимы, то выберем x0(t) = t. Получим Ax0C = sx(s) ds = Следовательно, A = 1/√3. 9  1 0 s2 ds = 1 3 = 1 √3x0L2 . Т. о., A ≤ 1/√3. Так как знак равенства в неравенстве Шварца достига

Стр.9

Пример 3. Является ли ограниченным оператор дифференцирования Ax(t) = x(t), если: D(A) такой, что AxC >MxC. Действительно, пусть задано произвольное число M > 0. Возьмем n >M и x(t) = sin nt. Тогда xC = 1 и a) A : D(A) ⊂ C[0, 1]→C[0, 1], где D(A) = C1[0, 1] ? b)A : C1[0, 1]→C[0, 1] ? Решение. В случае a) покажем, что для любого M > 0 найдется x ∈ AxC = maxt |Ax(t)| = maxt |ncos nt| = n >M, что доказывает неограниченность оператора A. В случае b) оператор дифференцирования будет ограниченным, т. к. имеет место оценка AxC ≤ MxC1. Действительно, зададим норму в C1[0, 1] формулой xC1 A ≤ 1. Для x0(t) = t имеем x0C1 = max{xC, xC}. Тогда AxC = x ≤ xC1 . Отсюда A = 1. 2) пусть x1 = xC +xC. Тогда имеет место такая же оценка AxC = xC ≤ xC +xC = x1 Задачи Доказать линейность, ограниченность и найти норму оператора: 1) (Ax)t) = x(0)+tx(1), A : C[0, 1]→C[0, 1]; 2) (Ax)(t) = tx(t), а) A : C[0, 1]→C[0, 1]; 3) (Ax)(t) = sin t x(t), а) A : C[0, 1]→C[0, 1] ; б) A : L2[0, 1]→L2[0, 1]; 4) (Ax)(t) =  1 В пунктах 4) - 5) рассмотреть случаи: а) A : C[0, 1]→C[0, 1], 0 et−sx(s) ds; 5) (Ax)t) =  1 б) A : L2[0, 1]→C[0, 1], A : D(A) ⊂ H →Y – линейный оператор. Рассмотрим уравнение Ax = f. (2.1) Будем предполагать, что A непрерывно обратим, так что уравнение (2.1) имеет единственное решение. Нас будут интересовать приближённые методы нахождения этого решения. 10 0 tsx(s) ds; . Глава II. Проекционные методы 2.1. Метод моментов. Пусть H,Y – гильбертовы пространства, = 1 и Ax0C = x0C = 1. Поэтому (1.6) и A ≤ 1. Однако в этом случае не существует элемента x0 = 0, на котором бы в (1.6) достигалось равенство.

Стр.10