Ачитуев РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Рекомендовано УМС БГУ в качестве учебно-методического пособия для обучающихся по направлениям подготовки 01.03.01 Математика; 01.03.02 Прикладная математика и информатика; 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем Улан-Удэ Издательство Бурятского госуниверситета 2016 УДК 519.6 (075.8) ББК 22.311 я 73 А 975 Утверждено к печати редакционно-издательским советом Бурятского государственного университета Рецензенты Д. Ш. <...> А 975 Разностные схемы решения задач математической физики : учебно-методическое пособие. <...> ISBN 978-5-9793-0941-5 В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации по решению задач обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных конечно-разностными методами. <...> УДК 519.6 (075.8) ББК 22.311 я 73 © С. А. Ачитуев, 2016 ISBN 978-5-9793-0941-5 © Бурятский госуниверситет, 2016 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее учебное издание представляет собой учебнометодическое пособие для поддержки теоретического курса и руководство по выполнению практических лабораторных работ с индивидуальными заданиями одинаковой степени сложности. <...> Разработано и подготовлено в соответствии с государственными образовательными стандартами дисциплины «Уравнения математической физики» в рамках реализации образовательной программы высшего образования по направлениям подготовки 01.03.01 Математика, 01.03.02 Прикладная математика и информатика, 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем очной формы обучения Дисциплина «Уравнения математической физики» относится к обязательным дисциплинам базовой части Б1. <...> Уметь: использовать теоретические знания при решении задач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с частными производными 2-го порядка. <...> Уметь классифицировать и приводить уравнения с частными производными к каноническому <...>
РАЗНОСТНЫЕ_СХЕМЫ_РЕШЕНИЯ_ЗАДАЧ_МАТЕМАТИЧЕСКОЙ_ФИЗИКИ.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
С. А. Ачитуев
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Рекомендовано УМС БГУ
в качестве учебно-методического пособия
для обучающихся по направлениям подготовки
01.03.01 Математика; 01.03.02 Прикладная математика
и информатика; 02.03.03 Математическое обеспечение
и администрирование информационных систем
Улан-Удэ
Издательство Бурятского госуниверситета
2016
Стр.1
УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.311 я 73
А 975
Утверждено к печати
редакционно-издательским советом
Бурятского государственного университета
Рецензенты
Д. Ш. Ширапов
доктор физико-математических наук, профессор
В. В. Убодоев
кандидат физико-математических наук, доцент
Текст печатается в авторской редакции
Ачитуев С. А.
А 975 Разностные схемы решения задач математической физики :
учебно-методическое пособие. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятского
государственного университета, 2016. — 64 с.
ISBN 978-5-9793-0941-5
В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические
сведения и даны практические рекомендации по решению
задач обыкновенных дифференциальных уравнений и
уравнений в частных производных конечно-разностными методами.
Пособие
разработано для студентов Института математики и
информатики.
УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.311 я 73
© С. А. Ачитуев, 2016
ISBN 978-5-9793-0941-5 © Бурятский госуниверситет, 2016
2
Стр.2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное издание представляет собой учебнометодическое
пособие для поддержки теоретического курса и руководство
по выполнению практических лабораторных работ с индивидуальными
заданиями одинаковой степени сложности.
Разработано и подготовлено в соответствии с государственными
образовательными стандартами дисциплины «Уравнения математической
физики» в рамках реализации образовательной программы
высшего образования по направлениям подготовки 01.03.01
Математика, 01.03.02 Прикладная математика и информатика,
02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных
систем очной формы обучения
Дисциплина «Уравнения математической физики» относится к
обязательным дисциплинам базовой части Б1. Б.2 в структуре образовательной
программы.
Пособие может быть использовано, как для работы под руководством
преподавателя, так и для самостоятельного изучения.
В результате освоения основных разделов пособия у выпускника
по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика», 01.03.02
«Прикладная математика и информатика», 02.03.03 «Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем»
должны быть сформированы следующие компетенции:
ОПК-1 — готовность использовать фундаментальные знания в
области математического анализа, комплексного и функционального
анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной
геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической
статистики и случайных процессов, численных методов,
теоретической механики в будущей профессиональной деятельности;
ПК-1
— способность к определению общих форм и закономерностей
отдельной предметной области.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: теоретические основы теории «Уравнений математической
физики», методы решения основных уравнений математиче3
Стр.3
ской физики, как численными, так и аналитическими способами,
основные определения и теоремы.
Уметь: использовать теоретические знания при решении задач,
связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями
и уравнениями с частными производными 2-го порядка. Уметь
классифицировать и приводить уравнения с частными производными
к каноническому виду.
Владеть: методами построения конечно-разностных схем и его
решением; составлением программы на алгоритмическом языке и
его отладка.
Основной задачей настоящего учебно-методического пособия
является закрепление теоретического материала и формирование
навыков построения вычислительных алгоритмов для решения базовых
задач, исследование свойств различных разностных схем
(точность, сходимость, устойчивость и погрешность вычисления).
Пособие состоит из двух разделов. Первый раздел включает
тему «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений», второй раздел — «Численные методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных». В каждом
разделе, помимо теоретического материала, содержится набор упражнений
и заданий. В начале каждого параграфа приведены теоретические
сведения, необходимые для решения задач. После каждого
параграфа приведены задания, как для работы в аудитории, так и
для самостоятельной работы.
4
Стр.4
Содержание
Предисловие …………………………………………....
3
I. Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений ……………………... 5
1. 1. Задача Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений ……………………....... 5
1. 2. Краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений ……………………....... 19
1. 2.1. Метод сеток ………………………………..
1. 2.2. Интегральный метод……………………....... 22
1. 2.3. Метод прогонки……………….......................
20
23
3. Методы сведения краевой задачи к задаче Коши…. 23
3.1. Метод стрельбы………………......................... 23
3.2. Метод дифференциальной прогонки
26
II. Численные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных………………..... 34
2.1. Смешанная
задача
для
уравнения
теплопроводности………………...................................... 34
2.2. Смешанная задача для волнового уравнения.....
42
2.3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.................. 46
2.3.1. Итерационные методы решения задачи Дирихле
для эллиптического уравнения в двухмерной области……………….........................................................
48
2.4.
Аппроксимация. Устойчивость и сходимость
разностных схем………………………………………..... 54
Библиографический список .............................................. 62
63
Стр.63