ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2017, том 473, № 6, с. 635–639
МАТЕМАТИКА
УДК 517.957
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
СОСТОЯНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
© 2017 г.
А. А. Дуюнова1, *, В. В. Лычагин1, 2, С. Н. Тычков1
Представлено академиком РАН С.Н. Васильевым 26.12.2016 г.
Поступило 13.01.2017 г.
В работе даётся классификация уравнений состояний для вязкой жидкости (или газа), описываемой
системой дифференциальных уравнений Навье–Стокса. Классификация основывается на
анализе симметрий, допускаемых системой.
DOI: 10.7868/S0869565217120015
Рассмотрим течения вязких жидкостей в трёхмерном
пространстве, описываемые следующей
системой дифференциальных уравнений:
ρ=−+η∆ +ζ+η
D
Dt
grad p
Dρ +ρ =,
Dt
T Ds
Dt kT
Здесь =, ,uu u12 3 – поле скоростей жидкости,
u ()
p, ρ, s, T – давление, плотность, удельная энтропия
и температура соответственно, а тензор
σ=η ∂
∂ +∂
ij
u
x
i
j
Df
Dt
∂ −δ ∂
ij
u
x
j
i
∂ +⋅
f
t
2
3
∂
u
x
k
k
u grad f
+ζδ ∂
ij
∂
есть тензор вязких напряжений среды, и
= ∂
есть материальная производная.
Предполагается, что коэффициенты теплопроводности
k и вязкости ζ и η постоянны.
Отметим, что первое уравнение системы (1) –
это трёхмерное уравнение Навье–Стокса, второе
– уравнение непрерывности, а третье – уравнение
теплопроводности [1].
Прежде всего заметим, что система (1) не замкнута.
Для её замыкания необходимы ещё два
1 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова
Российской Академии наук, Москва
2 University of Tromso, Norway
*E-mail: duyunova_anna@mail.ru
u
x
k
k
ρ= ∆+σ ∂
∂ .
div0
ij
u
x
i
j
u uu
u
3 grad(div ),
(1)
соотношения, которые могут быть получены из
термодинамических свойств среды.
Как правило, из-за недостатка уравнений состояния
жидких сред при решении задач гидродинамики
для замыкания системы уравнений
используются различные упрощения и гипотезы
(несжимаемость, изоэнтропичность), применение
которых не всегда корректно. Подход, используемый
в данной работе, заключается в применении
аппарата дифференциальной геометрии к классификации
уравнений состояний с точки зрения
допускаемых ими симметрий, действующих
в пространстве термодинамических переменных.
Полученные таким образом уравнения состояния
можно использовать для аппроксимации экспериментальных
данных и отыскания симметрий,
допускаемых реальной жидкой средой, которые
также можно использовать для редукции системы
уравнений Навье–Стокса.
Изучим алгебры симмeтрий системы уравнений
Навье–Стокса в их зависимости от термодинамических
состояний. Алгебра симметрий
состоит из чисто геометрической и термодинамической
частей. Геометрическая часть алгебры
симметрий представлена группой движений,
преобразованиями Галилея и сдвигами вдоль
оси времени. Термодинамическая часть напрямую
зависит от симметрий термодинамических
состояний.
Рассмотрим классификацию термодинамических
состояний и соответствующих алгебр Ли
для случаев, когда термодинамические состояния
допускают одномерную или двумерную алгебры
симметрий.
Подробный обзор уравнений термодинамических
состояний, полученных экспериментальными
методами, можно найти в [5].
635
Стр.1
636
ДУЮНОВА и др.
Для описания термодинамических состояний
рассмотрим пятимерное контактное многообразие
R5, снабжённое координатами (p, ρ, s, T, ε)
и контактной 1-формой
θ= ε− −dT ρ.
ρ
ds p d2
Уравнение состояния ε=ερ, s
(), в котором
удельная внутренняя энергия ε является функцией
плотности ρ и удельной энтропии s, задаёт
двумерное лежандрово многообразие L в R5:
ε=ερ,, = ∂ε
∂ ,=ρ ∂ε
()
sT s p
2
∂ρ,
являющееся интегральным многообразием контактной
формы θ.
Иначе говоря, на многообразии L выполняется
первый закон термодинамики [2]:
θ=0.L
стоянием понимается 2-мерное лежандрово многообразие
⊂L
В общем случае под термодинамическим соR5.
Заметим
также, что удельная внутренняя
энергия ε не входит в число неизвестных функций
в системе (1). Чтобы исключить её из описания
термодинамического состояния, рассмотрим
проекцию RR
φ→ φ: psTp sT .
:, ,ρ,, ,ε ,ρ,,
LL
54 () ()
Ограничение отображения φ на поверхность состояния
L является локальным диффеоморфизпогружённым
лагранжевым многообразием в четырёхмерном
симплектическом пространстве R4
со структурной формой
Ω= ∧+ρρ∧.−
ds dT ddp
2
Отметим, что удельную внутреннюю энергию ε
можно восстановить с точностью до константы,
зная лагранжево многообразие L.
можно определить как лагранжево многообразие
в симплектическом пространстве
().
,Ω
Двумерная поверхность L задается уравнениями
,ρ,, =,
,ρ,, =,
Fp sT
Gp sT
() 0
() 0
(2)
а условие того, что поверхность L лагранжева,
может быть выражено следующим образом:
Таким образом, термодинамическое состояние
R4
[] L0на ,= ,
FG
плектической формы Ω, т.е.
,Ω =∧ ∧Ω.
[] 2
FG dF dG
[] 2
Системой уравнений Навье–Стокса называетFG
В
координатах (p, ρ, s, T) эта скобка имеет вид
,=ρ ∂
∂ρ
FG
p
∂
∂ −∂
∂
F
p
∂
∂ρ
GF
s
+∂
∂
∂
∂ −∂
G
T
∂
F
T
∂
∂ .
G
s
ся система уравнений (1), дополненная лагранжевой
поверхностью ⊂L 4R или двумя уравнениями
состояния (2), удовлетворяющими соотношению
(3).
Заметим, что условие ,=
Fs s
Gs s
2
2
ρ ∂ε
∂ρ,ρ,, ∂ε
ρ ∂ε
∂ρ,ρ,, ∂ε
∂ =,
∂ =.
0
0
Таким образом, система уравнений Навье–
Стокса – это система (1), дополненная уравнениями
состояния (2), где функции F и G удовлетворяют
дополнительному соотношению (3).
Геометрически мы представляем эту систему
следующим образом. Пусть RRπ: →11
мом на образ =φ() , а поверхность ⊂L 4R – ()tx xx
12 31 23
вого порядка ⊂π0 J .0
Обозначим ⊂π1 J1
⊂π2 J 2
мерное расслоение:
π: ,, ,, ,, ,ρ,, ,, ,, .
4 – семиtx
xx uu us pT () 12 3
Тогда система (2) определяет уравнение нулесистему
порядка ≤ 1, полученную
первым продолжением системы 0 и четвёртым
уравнением (непрерывности) системы (1).
Система дифференциальных уравнений
порядка ≤ 2 состоит из первого продолжения
системы 1 и всех уравнений второго порядка
системы (1).
Для порядков k ≥ 3 определим ⊂πk J k как
(k – 2)-е продолжение системы .2
Симметрии системы уравнений Навье–Стокса
являются точечными (см. [6]), т.е. порождаются
векторными полями X в пространстве джетов J 0π
такими, что их второе продолжение X (2) касается
подмногообразия ⊂π2 J .2
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 473 № 6 2017
[] 0mod{0 0}
FG FG
=, =
эквивалентно условию интегрируемости системы
уравнений в частных производных
(3)
где FG ,[] – скобка Пуассона относительно сим
Стр.2
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ…
Навье–Стокса рассмотрим алгебру Ли g, порождённую
векторными полями на пространстве J 0π:
Для описания алгебры Ли симметрий системы
XX X
Xx xu u
Xx xu u
Xx xu u
Xt 11
78 9
10
Xt uu u
pT
14 12 312 3
ρ
tu uu
pT
22
2
ρ
=∂ +∂ ,= ∂+∂, =∂ +∂ ,
=∂,=∂,
12 3
42 12 1
53 23 2
61 31 3
xu Xt 22
11
Xx xx u
uu
13 12 31
23
T T
xu Xt xu
XX X12 =∂ ,
=∂ +∂ +∂ +∂ +
+∂ +∂ −ρ∂+ ∂,
=∂ −∂ −∂ −∂ +
+ρ∂− ∂− ∂.
ts p
xx xu
uu
12 31
23
Обозначим через h алгебру Ли, порождённую
векторными полями
=∂,=∂, =ρ∂− ∂,
YY YT
Yp T
12 3
4
sp
=∂ +∂ .
pT
ϑ= ρ∂+∂+∂ +∂
()
() sp () T
ρ
T
33
=∂ ,=∂, =∂ ,
=− ∂+ ∂− ∂+ ∂,
=− ∂+ ∂− ∂+ ∂,
=− ∂+ ∂− ∂+ ∂,
xx x
xx uu
xx uu
xx uu
12 3
12 12
23 23
31 31
637
лагранжевы многообразия, инвариантные относительно
этих подалгебр. Рассмотрим только случаи
одно- и двумерных подалгебр, поскольку для
алгебр Ли размерности 3 физически осмысленных
инвариантных уравнений состояний нет.
алгебре.
Поверхность состояния ⊂L 4R лагранжева,
Пусть вектор ∑ ii задаёт базис в этой
1
Начнём с размерности 1, m1.
4
di ht =
ZY
i
=λ
=
т.е. Ω=| 0L , и векторное поле Z касается поверхности
L тогда и только тогда, когда дифференциальная
1-форма
ιΩ= λ
Z
ρ −λ+λ
dp
3 42
2
p dTds() dT
ρ
ρ+ λ−λ+λ
34 1
обращается в ноль на L .
Иначе говоря, поверхность L является решением
следующей системы уравнений:
Ω= ,
ιΩ =.
() 0
L
|
Z
Пусть ghϑ: – гомоморфизм алгебр Ли, где Соотношения
() ()XX ρ Xs Xp XT
T
и
гебре Ли g, порождённый векторными полями
X1, ..., X10.
X ∈ g.
Ядро гомоморфизма ϑ – это идеал gm в алh,
которая сохраняет термодинамические состояния
(2). Тогда верна следующая
Пусть также ht – это подалгебра алгебры Ли
системы уравнений Навье–Стокса совпадает
с прообразом
Те о р е м а 1. Алгебра Ли gshm симметрий
ϑ.
− ()1
ht
Отметим, что обычно уравнениями состояния
пренебрегают, и векторные поля вида f(t)∂p, где
f – произвольная функция, рассматриваются как
симметрии уравнений Навье–Стокса. В этом случае
алгебра симметрий неполной системы Навье–
Стокса является бесконечномерной.
вида алгебра ht = 0 и алгебра симметрий совпадает
с алгеброй gm.
Также в случае уравнений состояния общего
ских состояний (ср. [3]), т.е. лагранжевы многообразия
Классифицируем
уравнения термодинамичеL⊂
R ,4 в зависимости от алгебры симметрий
hht ⊂ . Для этого рассмотрим одно- и двумерную
подалгебры Ли в алгебре h и опишем
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 473 № 6 2017
где
FF s
=−λ
λ ρ
лены ниже.
1 ln
3
есть произвольная гладкая функция.
Особые случаи для коэффициентов λ перечис3
=
∂ε ρ,
∂ ,=ρ ∂ε ρ,
()
s
s
p
получить два дифференциальных уравнения на
удельную внутреннюю энергию ερ, s
и последнее уравнение ιΩ =|() 0 позволяют
():
Z
λ ∂ε
∂
2
1
λρ∂ε
∂ρ
2
2
s ss
s
2
3
34
+λ ∂ε
∂∂ρ+λ −λ ∂ε
2
1
34
+λ ρ ∂ε
∂∂ρ+λ −λ ∂ε
2
() 0
∂ =,
(2 )0
ρ
∂ρ−λ
2
2
(4)
=.
Можно проверить, что скобка Майера [4] этих
двух уравнений обращается в ноль, следовательно,
сис тема формально интегрируема. Решая систему
(4) для случая общих значений коэффициентов
λ, находим выражения для давления и температуры:
TF pF F
=ρ ,=ρ λ
λ −
λ
λ
4
3
λ
λ
4
3
′′
4 1
3
− λ
1
3
λ −λ
λ ,
2
4
(5)
L
|L
2 ()
∂ρ
s
0
Стр.3