Лысакова Воронежский государственный университет Поступила в редакцию 11.09.2008 г. Аннотация. <...> В данной статье приводится обобщение классической теоремы М. А. Красносельского о бифуркации. <...> ВВЕДЕНИЕ Данная работа посвящена исследованию операторного уравнения xx xYF( ) =( ) + e Y :EE Ж и F:, EE Ж где E — конечномерное банахово пространство, k -раз непрерывно дифференцируемы. <...> Требуется найти условия, при которых e =0 является точкой бифуркации уравнения (1). <...> То есть при e =0 уравнение (1) имеет изолированное решение x0 нулю значениях e уравнение (1) имеет по крайней мере два непрерывно зависящих от e решения, близких к x0 . <...> Подобными исследованиями существования малых решений занимался М. А. Красносельский. <...> В его работах предполагалось, что при всех значениях e уравнение (1) имеет нулевое решение. <...> В книге [1] М. А. Красносельский привел условия, при которых существует бифуркация решений уравнения xUx где UxVx C x D () () = ( )ee (e, ) ( , ).++ e x (3) Выражение (3) получается в результате разложения в ряд Тейлора по x оператора Ux но по норме операторов зависящий от e линейный оператор, у которого при e =0 единица © Лысакова Ю. В., 2008 e в окрестности x =0. <...> Здесь операторы является простым собственным значением, Cx (, )e — однородный по переменной x оператор порядка k , a Dx o x k e = (, ) ( ). <...> В доказательстве М. А. Красносельского основную роль играет отличное от нуля число x00 0 =( (0, ), ),Ce g тор оператора V* , а при близких к нулю, но не равных оператораV(0) , соответствующий собственному значению, равному 1, а g0 — нормированный собственный вектор — собственный век(0), сопряженного оператору V(0), соответствующий собственному значению 1 и нормированный условием (, )=1,00 eg - me , где me оператораV() а точнее связь между знаками числа x0 1( ) и () — ветвь собственных значений e , сходящаяся к 1 при e Ж0. <...> В данной статье будет приведена теорема, обобщающая теорему М. А <...>