УДК 517.977 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ Н. Г. Павлова Российский университет дружбы народов В статье исследуется управляемая система с импульсными управлениями в окрестности анормальной точки. <...> Вводится понятие 2-нормальности, которое играет большую роль при выводе необходимых условий первого и второго порядка для задачи оптимального управления. <...> Получены достаточные условия экстремума для 2-нормальных траекторий. <...> Функции W0 и W предполагаются и f — дважды дифференцируемыми по x и u для п.в. tt tŒ[, ]12 , а функции g0 G — непрерывными. <...> Пустое множество также условимся считать острым конусом. <...> BK В качестве класса допустимых управлений рассматривается множество пар (, ) : uL t Œ • m t[, ]. <...> Пусть (, , )ˆˆ ˆxu m — заданный допустимый процесс. <...> Процесс (, , )ˆˆ ˆxu m удовлетворяет уравнению Эйлера—Лагранжа, если существует такой вектор l π 0, что l0 ≥ 0 и для ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: ФИЗИКА. <...> 1 Если конус L не содержит элемент вида l (т.е. элемент с l0 вается нормальной. <...> В противном случае задачу называют анормальной и для нее необходимые условия первого порядка выполняются тривиально. <...> Здесь и далее dx — соответствующее (, )ddmu решение системы уравнений в вариациях (7) с начальным условием dz Через странство X , состоящее из всех тех (, , )zd dmu формы Wl на подпространство ет r . lm rr , m обозначим множество тех ŒL(, , )ˆˆ ˆxu , для которых индекс сужения =(xu,ˆˆ )ˆ X обозначим линейное подпро, что решение системы (7) dx удовлетворяет граничным условиям (8). <...> 1 t dt t W x xx ∂ ∂ 2 Следующая теорема дает необходимые условия минимума второго порядка. <...> ). Пусть допустимый процесс (, , )ˆˆ ˆxu m является конечномерным минимумом в задаче (1)—(4). <...> Обозначим через d размерность ядра блочной матрицы ()1 x xx(ˆ12, ˆ ), (ˆ , ˆ )( ) ¥ ∂ ∂ ¥ u Необходимые и достаточные условия экстремума для задач оптимального импульсного управления имеет место ll l Ld ,| | 1 W Œ= zd dm ≥ 0 max (, u, ) . <...> * ˆ ¯ ˜ Здесь DMM M+- - — скачок матрицы M <...>