ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2003, ¹ 2 УДК 517.988 О РАВНОМЕРНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МЕТРИК, ПОРОЖДЕННЫХ РЕШЕНИЯМИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА* © 2003 Н. М. Ратинер Воронежский государственный университет В статье изучаются решения задачи Коши для эволюционного уравнения типа МонжаАмпера на цилиндре [0 ]TV ,Ч , где () Vg, компактное риманово многообразие. <...> На основании этих оценок доказана равномерная эквивалентность метрик, представляющих собой сумму метрики g и тензора Гессе решения задачи Коши. <...> Пусть на многообразии V задана связность, и, значит, определена операция ковариантного дифференцирования. <...> Мы предполагаем, что это связность ЛевиЧивита, т.е единственная симметричная связность на римановом многообразии, для которой тензор кручения равен нулю и ковариантная производная метрического тензора g равна нулю. <...> Ковариантная производная i∇ u от функции u по направлев локальнию базисного векторного поля ix ∂ ных координатах 1 водных функции 1u
u,, меняется как ко∂x m ∇∇uu u ji ij где uij = ∂∂ частные производные функции u , Γ символы Кристофеля данной ∂ xx k ij связности. <...> Заметим, что для симметричной связности символы Кристофеля симметричны по нижним индексам, поэтому смешанные вторые ковариантные производные от функции симмет* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант ¹ 01-01-00425 ij u 2 ij k = − Γ ∇ , ∇= = . <...> Набор частных произ() ii uu∂ u i () m x
x,, есть, по опреде∂ лению, производная по направлению этого векторного поля, т.е. просто частная производная: вариантный тензор, поэтому вторая ковариантная производная вычисляется по формуле: k ричны: ij ∇=∇ . <...> Для производных третьеuu ji го порядка и выше имеют место коммутационные формулы, содержащие коэффициенты тензора Римана. <...> Пусть () функция на V, рассмотрим квадратичную форму u ux дважды дифференцируемая g , матрица которой в локальных координатах ij +∇ , где ij gu ij ные производные функции u второго порядка <...>