ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2003, ¹ 2 УДК 517.95 О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НА СЕТИ* © 2003 А. В. Копытин Воронежский государственный университет туральному параметру вдоль каждого ребра Γ). <...> Доказывается, что для того, чтобы все решения уравнения (1) были ограничены по равномерной норме необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора где Γ∆ оператор Лапласа-Бельтрами (т.е. оператор взятия второй производной по наРассматривается волновое уравнение на графе Γ tt uu Γ =∆ , −∆ Γ содержался в (0 ),+∞ и оператор −∆ Γ не имел присоединенных функций. <...> Приводятся примеры графов для которых эти условия не выполняются, а, следовательно, уравнение (1) имеет неограниченные решения. <...> Гиперболические уравнения на сетях (геометрических графах) и соответствующие спектральные задачи интенсивно изучаются уже более 20 лет. <...> Установлены осцилляционные свойства спектра краевой задачи на сети (см. <...> ). В настоящей работе устанавливается связь между спектральными свойствами оператора ЛапласаБельтрами на сети и наличием у соответствующего волнового уравнения неограниченных по времени решений. <...> Пусть X банахово пространство и L X банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X . <...> Семейство {() } операторов из ()L X называется сильно непре() Ct t в X ; 3. <...> ) тогда и только тогда, когда A является генератором сильно непрерывной КОФ C . <...> Функции, представимые в виде (3), называются обобщенными решениями задачи (1), (2) (слово «обобщенное» мы будем опускать в дальнейшем). <...> Рассмотрим геометрический граф Γ связное множество в n ¡ , представляющее собой объединение конечного числа криволинейных отрезков {}m 168 eii= 1 , называемых ребрами графа, точками пересечения которых мо() =t→0/) 2 ∈: xX C t x предел существует lim( (2 ) − x t 2 (1) ϕψ ρ ϕψ О существовании неограниченных решений волнового уравнения на сети функций u :Γ → ¡, заданных на Γ и обращающихся в нуль на ∂Γ . <...> В пространстве 0 Γ ddx Γ рассмотрим <...>