ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2003, ¹ 2 УДК 517.9 ПРОБЛЕМА ПЛАТО И ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ © 2003 Ю. Г. Борисович, Л. В. Стенюхин Воронежский государственный университет В настоящей статье применяется метод условного экстремума в банаховых пространствах к проблеме двумерных минимальных поверхностей. <...> Это позволяет исследовать бифуркации двумерных минимальных поверхностей, а также доказать существование двумерных минимальных поверхностей с ограничениями типа равенств. <...> ВВЕДЕНИЕ Проблема минимальных поверхностей возникла в середине XIX века, когда бельгийский физик Жозеф Плато заметил, что если погрузить проволочный контур в мыльный раствор, то образуется пленка, его затягивающая. <...> Менее изучена задача о бифуркациях минимальных поверхностей. <...> В этом направлении имеются работы А. А. Тужилина о сопряженных границах [3] (однако условие сопряженности контуру оказалось лишь необходимым условием для бифуркации), А. Ю. Борисовича [8], в которых рассматривалась вторая нормальная вариация функционала площади. <...> В настоящей статье развивается новый подход к исследованию бифуркаций минимальных поверхностей, основанный на классической теории условного экстремума в линейных банаховых пространствах, развитого в работах Л. А. Люстерника, В. М. Тихомирова и А. Д. Иоффе [4], что позволяет произвольно варьировать функционал Лагранжа. <...> Данный метод позволяет также определить множество направлений вариаций, при которых существует бифуркации, а также установить разрешимость задачи минимальных поверхностей с ограничениями типа равенств. <...> Мы рассмотрим здесь эту задачу, базируясь на методах условного экстремума в банаховых пространствах с операторными связями [3]. <...> Предварительно дадим оценки для функций условий конформности 1F , F . <...> ОПЕРАТОР ПЛАТОЛАГРАНЖА Теперь построим отображение, элементами ядра которого являются минимальные поверности в конформных координатах. <...> Отметим некоторые свойства оператора () Fu : ∗∗ Теорема <...>