Вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций в зависимости от коэффициентов дифференциального выражения, а также о получении формул регуляризованного следа для соответствующих операторов являются весьма актуальными в современной спектральной теории дифференциальных операторов. <...> В случае оператора Штурма–Лиувилля с непрерывно-дифференцируемым потенциалом
основные результаты были получены И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в работе 1953 года. <...> Позднее в
работах Л.А. Дикого, В.А. Садовничего, В.Б. Лидского, В.А. Марченко и других математиков эти результаты были обобщены на случай дифференциальных операторов высших порядков и операторов в частных
производных. <...> Для оператора Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом, не являющимся локально
интегрируемой функцией, и краевых условий Дирихле на конечном интервале аналогичные вопросы впервые были рассмотрены А.А. Шкаликовым и А.М. Савчуком в работах 1999–2003 годов. <...> В сравнительно
недавних работах А.Г. Костюченко и С.Р. Исмагилова (2007–2008 годы) был получен главный член асимптотики считающей функции для самосопряженных расширений векторного оператора Штурма–Лиувилля, порожденного выражением [ ] ( ) ( ) ( ) l y y x Q x y x ′′ = + в пространстве 2
2( ) L R+ , где ( ) Q x – вещественная
симметрическая квадратная матрица второго порядка. <...> Дальнейший анализ полученных уравнений позволяет найти асимптотику собственных значений и формулу регуляризованного следа первого порядка рассмотренных операторов! <...>