Отрезок AB проектируется в отрезок AB,где A и В—проекции его концов A и B. <...> Аффинным отображением плоскости β на плоскость α называется взаимно однозначное отображение f: β → α плоскости β на плоскость α, при котором коллинеарные точки переходят в коллинеарные и сохраняется простое отношение точек. <...> 4 R = (O1,O2,O3) таким образом, чтобы базисные точки O1 и O2 принадлежали прямой l. <...> Так как при аффинном отображении сохраняется простое отношение точек, то центр окружности изображается центром симметрии эллипса. <...> . . Напомним, что под аффинным репером в пространстве понимается произвольная упорядоченная четверка некомпланарных точек, сами точки называются его вершинами. <...> Точку M3 будем называть вторичной проекцией точки Так как точка точку координатной оси e3 и проходящей через точку с координатной плоскостью A1 A1 e1 проекция принадлежит прямой плоскости изображения, проходящей через точку M и параллельной прямой A1 M и параллельной координатной оси e3,вторичная e3. <...> Так как изображение точки и ее вторичная проекция полностью определяют ее положение в пространстве, то условимся считать точку на плоскости изображения заданной, если дано ее изображение и одна из вторичных проекций. <...> Для этого достаточно определить, как было показано выше, вершины соответствующих координатных ломаных Mx и My.Вторичная проекция M2 служит точкой пересечения прямых, одна из которых проходит через точку M параллельно вектору e2, а другая через точку Mx, параллельно вектору Аналогично строится вторичная проекция M1. <...> Так как начало координат, точка O,вторичная проекция точки P на координатную плоскость O e1 e2, а вторичная проекция точки N совпадает с ней самой, то прямая ON служит вторичной проекцией прямой PN на эту координатную плоскость. <...> Если же присоединенный репер евклидов, то изображение называется евклидово определенным. <...> При доказательстве непротиворечивости планиметрии Лобачевского используется <...>
Геометрия_2_(2).pdf
УДК 514
ББК 22.1
А92
Атанасян С. Л.
А92 Геометрия 2 : учебное пособие для вузов /
С. Л. Атанасян, В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ; под
ред. С. Л. Атанасяна.—4-е изд., электрон.—М. : Лаборатория
знаний, 2024.—547 с.—Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10".—Загл. с титул. экрана.—
Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-695-7
В учебнике собран материал второй части единого
курса геометрии, изучение которого необходимо будущему
учителю математики для успешной работы со школьниками.
Изложение теоретического материала проиллюстрировано
типовыми примерами.
Для студентов, аспирантов и преподавателей математических
факультетов вузов.
УДК 514
ББК 22.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Геометрия
2 : учебное пособие для вузов / С. Л. Атанасян,
В. Г. Покровский, А. В. Ушаков ; под ред. С. Л. Атанасяна.—3-е
изд.—М. : Лаборатория знаний, 2023.—544 с. :
ил.—ISBN 978-5-93208-326-0.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-695-7
©Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 3
Часть I. Методы изображений
Глава I. Свойства изображений ... .. ... .. .. .. 7
§ 1. Изображение плоских фигур при параллельном
проектировании .. .. .. ... .. ... .. .. .. 7
§ 2. Изображение многогранников при параллельном
проектировании .. .. .. ... .. ... .. .. .. 16
§ 3. Изображение цилиндра, конуса и шара . . . . . 23
Глава II. Построение изображений .. .. ... .. .. .. 31
§ 4. Аксонометрия ... .. .. ... .. ... .. .. .. 31
§ 5. Полные и неполные изображения. Сечения многогранников
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 6. Метрические задачи аксонометрии . . . . . . . . 48
§ 7. Метод Монжа ... .. .. ... .. ... .. .. .. 55
Часть II. Основания геометрии
Глава I. Аксиоматика евклидова пространства .. .. 65
§ 8. История попыток доказательства пятого постулата
Евклида ... .. .. ... .. ... .. .. .. 65
§ 9. Общие вопросы аксиоматики. Требования,
предъявляемые к системам аксиом . . . . . . . . 79
§ 10. Система аксиом Гильберта трехмерного евклидова
пространства. Обзор следствий аксиом принадлежности
и порядка . ... .. ... .. .. .. 90
§ 11. Обзор следствий аксиом конгруэнтности, непрерывности
и параллельности .. .. ... .. .. .. 98
§ 12. Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства
. .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 107
§ 13. Свойства прямых и плоскостей в аксиоматике
Вейля трехмерного евклидова пространства . . . 113
§ 14. Свойства понятия «лежать между» в аксиоматике
Вейля. Свойства отрезков, лучей
полуплоскостей и углов . ... .. ... .. .. .. 120
§ 15. Равенство отрезков и углов в аксиоматике
Вейля. Аксиомы непрерывности . ... .. .. .. 131
Глава II. Аксиома параллельности и утверждения, ей
эквивалентные .. .. .. ... .. ... .. .. .. 140
§ 16. Эквивалентность пятого постулата Евклида
и утверждения Фаркаша Бойяи аксиоме параллельности
евклидовой геометрии ... .. .. .. 140
Стр.542
542 Оглавление
§ 17. Теоремы Лежандра .. .. ... .. .. ... .. .. 145
§ 18. Эквивалентность аксиомы параллельности
евклидовой плоскости теореме о сумме углов
треугольника, постулату Валлиса и предложению
Лежандра . ... .. ... .. .. ... .. .. 151
§ 19. Свойства четырехугольника Саккери. Предложение
Посидония . ... .. ... .. .. ... .. .. 158
Глава III. Геометрия Лобачевского .. .. .. ... .. .. 164
§ 20. Аксиоматика пространства Лобачевского. Основные
следствия .. ... .. ... .. .. ... .. .. 164
§ 21. Параллельные прямые на плоскости Лобачевского
... .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. 169
§ 22. Угол параллельности, функция Лобачевского . . 182
§ 23. Свойства прямых на плоскости Лобачевского . . 189
§ 24. Пучки прямых на плоскости Лобачевского, траектории
пучков . ... .. ... .. .. ... .. .. 196
§ 25. Модель Кэли–Клейна планиметрии Лобачевского 208
Глава IV. Теория измерений . .. ... .. .. ... .. .. 224
§ 26. Длина отрезка. Теоремы существования и единственности
длины отрезка .. .. .. ... .. .. 224
§ 27. Площадь многоугольника. Теоремы существования
и единственности .. ... .. .. ... .. .. 233
§ 28. Равновеликие и равносоставленные многоугольники.
Теорема Бойяи–Гервина. Объем многогранника
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Часть III. Проективная геометрия
Глава I. Проективная плоскость и ее основные свойства
. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. 257
§ 29. Центральное проектирование. История возникновения
проективной геометрии .. .. ... .. .. 257
§ 30. Аксиомы Вейля проективного пространства.
Прямые на проективной плоскости и их
свойства. Модели проективной плоскости . . . . 264
§ 31. Координаты точек на проективных прямой
и плоскости . .. ... .. ... .. .. ... .. .. 273
§ 32. Преобразования координат точек проективной
плоскости. Уравнение прямой на проективной
плоскости. Однородные и неоднородные координаты
точек расширенной плоскости . ... .. .. 280
§ 33. Принцип двойственности. Теорема Дезарга . . . 290
Стр.543
Оглавление 543
Глава II. Двойные отношения точек и прямых, проективные
отображения и преобразования .. . 301
§ 34. Двойные отношения точек на проективной прямой
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 301
§ 35. Двойное отношение четырех прямых пучка
и его свойства ... .. .. ... .. ... .. .. .. 309
§ 36. Двойное отношение точек на расширенной плоскости.
Гармонические четверки точек и прямых
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 315
§ 37. Проективные отображения прямых и пучков . . 325
§ 38. Проективные преобразования плоскости . . . . . 335
Глава III. Кривые второго порядка на проективной
плоскости .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 348
§ 39. Линии второго порядка на проективной плоскости
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 348
§ 40. Пересечение линии второго порядка с прямой,
полюсы и поляры .. .. ... .. ... .. .. .. 359
§ 41. Теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона . . . 374
Глава IV. Проективные интерпретации аффинной
и евклидовой геометрий и неевклидовой
геометрии Лобачевского .. .. ... .. .. .. 387
§ 42. Проективная интерпретация аффинной геометрии
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 387
§ 43. Линии второго порядка на проективной плоскости
с фиксированной прямой . . . . . . . . . . . . 397
§ 44. Проективная интерпретация евклидовой геометрии
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 404
§ 45. Проективная интерпретация геометрии Лобачевского
... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 415
Часть IV. Элементы топологии
и дифференциальной геометрии
Глава I. Топологические пространства и многообразия
. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 427
§ 46. Топологические пространства . .. ... .. .. .. 427
§ 47. Операции над множествами в топологическом
пространстве . ... .. .. ... .. ... .. .. .. 436
§ 48. Непрерывные отображения топологических пространств
. .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 445
§ 49. Связные и компактные топологические пространства
. .. ... .. .. ... .. ... .. .. .. 451
§ 50. Топологические многообразия . . . . . . . . . . . 464
Стр.544
544 Оглавление
Глава II. Дифференциальная геометрия .. ... .. .. 472
§ 51. Векторная функция от одной и двух переменных
. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. 472
§ 52. Гладкие подмногообразия в евклидовом пространстве.
Понятия линии и поверхности . . . . 477
§ 53. Касательная и длина дуги гладкой линии. Кривизна
и кручение, натуральные уравнения линии
. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. 485
§ 54. Касательная плоскость и нормаль поверхности.
Первая квадратичная форма . .. .. ... .. .. 496
§ 55. Кривизна линии на поверхности. Вторая квадратичная
форма .. ... .. ... .. .. ... .. .. 507
§ 56. Главные кривизны. Полная и средняя кривизны
поверхности . .. ... .. ... .. .. ... .. .. 514
§ 57. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема
Гаусса. Геодезическая кривизна . .. ... .. .. 522
§ 58. Изометричные поверхности. Изгибание поверхности
. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. 533
Литература .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. .. 539
Стр.545