С теоретико-групповых позиций рассмотрена инвариантность управляемых систем относительно внешних возмущений. <...> Например, преобразования сдвигов вдоль решений у системы (С) вмещаются в однопараметрическую группу, а у (СУ) из-за произвольности функций u(t) выходят за рамки любой конечнопараметрической группы. <...> С преобразованиями симметрии наоборот: у (С) множество преобразований симметрии имеет функциональную мощность, а у (СУ) обычно ограничивается тождественным. <...> В семействе (1.1) вводится умножение —суперпозиция преобразований (сначала преобразование g с параметрами τ в (1.1), затем преобразование ˜ g с параметрами ˜ x = g(ˆ τ)= g(g(x, τ), ˆ ˆ ˆ (обозначается ˜ gg). <...> 1)Диффеоморфизм (диффеоморфное преобразование) x ↔ y: взаимнооднозначное преобразование, причем оба преобразования x→y и x→y гладкие. x, ˆ τ) τ): (1.2) (1.1) 6 Глава 1. <...> Семейство (1.1) называется q-параметрической группой преобразованийGq, если выполнены следующие условия (групповые аксиомы). <...> Еще одна групповая аксиома — ассоциативность — выполняется для любого семейства (1.1) преобразований. <...> Функции wl(x), l = 1,r, называются интегральным базисом инвариантов группы (1.1), если выполнены (1.5) § 1. <...> Группа (1.1) называется просто транзитивной в точке x, если она транзитивна, и в каждую точку ˆ x = g(x, τ) орбиты точки x можно попасть единственным преобразованием группы. <...> Из теории локальных групп Ли Далее отдельно рассматривается случай, когда параметр τ в уравнениях группы (1.1) один (q =1,§ 2),и случай q> 1 (§ 4). <...> Однопараметрические группы 9 Каждой однопараметрической группе (2.1) соответствует инфинитезимальный оператор (генератор) X= i=1 n ηi(x) ∂ ∂xi , (2.6) который в силу системы (2.2) является оператором дифференцирования по параметру τ. <...> Функция w(x) является инвариантом группы (2.1) (см. определение 1.2) в том и только в том случае, если для нее выполняется равенство Xw =0, где X — инфинитезимальный оператор (2.6) группы (2.1). <...> Система уравнений (1.9) задает в пространстве Rn инвариантное многообразие M группы <...>
Теория_управления_регулярными_системами_(1).pdf
Г. Н. Яковенко
Т еория
управления
регулярными
системами
Учебное пособие
Рекомендовано
высших учебных заведений
Учебно-методическим объединением
Российской Федерации по образованию
в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
по направлению
«Прикладные математика и физика»
4-е издание, электронное
Москва
Лаборатория знаний
2020
Стр.2
ББКУДК 519.71
22.1
Я47
физико-технического института (государственного университета) на
2006–2007 годы
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проектам 05-01-00940,
07-01-00217 и Инновационной образовательной программы
«Наукоемкие технологии и экономика инноваций» Московского
кафедра «Авиационно-космические системы обработки информации
и управление» Московского института радиотехники, электроники
и автоматики
Рецензенты:
Яковенко Г. Н.
член-корреспондент РАН, д. ф.-м. н. Ю. Н. Павловский
Я47 Теория управления регулярными системами : учебное пособие
/ Г. Н. Яковенко. — 4-е изд., электрон. —М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 267 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-929-9
Книга посвящена применению теории групп к исследованию различных
вопросов теории управления. В частности, изучен вопрос о количестве
первых интегралов у конкретной системы с управлением и способах их
ивычисления. Подробно обсуждены группы симметрий управляемых систем
связанные с симметриями способы декомпозиций. С теоретико-групповых
позиций рассмотрена инвариантность управляемых систем относительно
внешних возмущений.
Для студентов, аспирантов и преподавателей университетов, физикоББКУДК
519.71
22.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Теория
управления регулярными системами : учебное пособие / Г. Н. Яковенко.
—М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 264 с. : ил. —
ISBN 978-5-94774-558-0.
технических и инженерно-физических вузов. Книга будет также полезна
научным и инженерно-техническим работникам, желающим углубить свои
знания в теории управления.
ограничений,В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-929-9
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Вспомогательные сведения из теории локальных
групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 1. Основные понятия теории групп преобразований. . . . .
§ 2. Однопараметрические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
5
8
§ 3. Полные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 4. Многопараметрические группы преобразований. . . . . . 19
§ 5. Группы, допускаемые системами обыкновенных дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 6. Симметрии в уравнениях Гамильтона и первые интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Глава 2. Регулярные системы с управлением. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 7. Определение регулярной системы. Проверка на регулярность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 8. Первые интегралы. Управляемость . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
§ 9. Примеры регулярных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Глава 3. Инвариантность регулярных систем относительно
внешних возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 10. Определения инвариантности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 11. Критерии инвариантности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 12. Синтез инвариантных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 13. Примеры инвариантных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Глава 4. Симметрии по состоянию в регулярных системах. . . . . 125
§ 14. Определение. Условия для симметрий по состоянию. . 125
§ 15. Симметрии по состоянию при отсутствии нетривиальных
первых интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
§ 16. Примеры вычисления симметрий по состоянию . . . . . . 154
Глава 5. Системы с просто трaнзитивной группой симметрий
по состоянию (L-системы). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
§ 17. Определения. Приведение к L-системам. Примеры . . . 166
§ 18. Инвариантное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
§ 19. Фундаментальная система решений. Конечные модели 192
§ 20. Теоретико-групповая декомпозиция . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
§ 21. Первые интегралы в зависимости от ограничений
на управление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Стр.264
264 Оглавление
Глава 6. Некоторые задачи теории упрaвления . . . . . . . . . . . . . . . 221
§ 22. Оптимальное управление: упрощение формализма
принципа максимума Л. С. Понтрягина, особые
управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
§ 23. Мобильность регулярных систем с управлением . . . . . 229
§ 24. Решение задачи управляемости с привлечением симметрий
разных типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Стр.265